Em um triângulo ABC, de hipotenusa AC, prolonga-se o cateto BC até um ponto D tal que C está entre B e D e med (BDA) = 30º. Calcule a medida CD, sabendo que o ângulo A do triângulo mede 30º e AB = 50.raizquadrada de 3.

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2014-08-17T00:55:52-03:00

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A
|\
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|    \  
|___\
B      C      D


AC = H

BC = ?

D = 30º

A = 30º

AB = 50  \sqrt{3}


sen 30º =  \frac{1}{2}

sen 30º =  \frac{CO}{H}


CO = AB (Cateto oposto ao ângulo D = 30º)
H = Hipotenusa = AC


Logo:

 \frac{1}{2} =  \frac{CO}{H}

 \frac{1}{2} =  \frac{AB}{AC}

 \frac{1}{2} =  \frac{50\sqrt{3} }{AC}


Fazendo meios pelos extremos:


1 . AC = 2 . 50  \sqrt{3}
AC = 100  \sqrt{3}



sen 30º =  \frac{1}{2}   (Ângulo A)

CO = BD (Cateto oposto ao ângulo A = 30º)


 \frac{1}{2} =  \frac{CO}{H}

 \frac{1}{2} =  \frac{BD}{AC}

 \frac{1}{2} =  \frac{BD}{10\sqrt{3}}


Fazendo meios pelos extremos:


2 . BD = 1 . 100  \sqrt{3}
2BD = 100  \sqrt{3}

BD = \frac{100\sqrt{3}}{2}

BD = 50  \sqrt{3}


Como C está entre B e D:


BC = CD (I)

BD = BC + CD (II)


Substituindo (I) em (II):

BD = CD + CD
BD = 2CD
50  \sqrt{3} = 2CD

CD = \frac{50\sqrt{3}}{2}

CD = 25  \sqrt{3}


Portanto:


CD = 25 \sqrt{3}