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2014-08-20T23:38:01-03:00

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Olá, Paulo.

O raio R da circunferência maior é dado pela soma do segmento \overline{OC}_2 com o raio da circunferência de centro em C_2.
Chamemos o raio da circunferência de centro em C_2 de r_{C_2}.
Encontra-se o tamanho do segmento \overline{OC}_2 pelo Teorema de Pitágoras, da seguinte forma:

(\overline{OC}_2)^2=r_{C_2}^2+[\text{ap\'otema do }\triangle C_1C_2C_3\text{ equil\'atero}]^2\Rightarrow\\\\
(\overline{OC}_2)^2=1^2+(\frac{\overline{C_2C_3}\sqrt3}{6})^2=1+(\frac{2\sqrt3}{6})^2=1+\frac{4\cdot3}{36}=1+\frac13=\frac43\Rightarrow\\\\
\overline{OC}_2=\sqrt{\frac43}=\frac{2}{\sqrt3}\Rightarrow\boxed{\overline{OC}_2=\frac{2\sqrt3}{3}}

O raio da circunferência maior é, portanto:

R=\overline{OC}_2+r_{C_2}= \frac{2\sqrt3}3+1

A área da circunferência maior é:

\pi R^2=\pi(\frac{2\sqrt3}3+1)^2=\pi(\frac{2\sqrt3+3}3)^2=\pi(\frac{4\cdot3+12\sqrt3+9}9)=\pi(\frac{21+12\sqrt3}{9})=\\\\=\boxed{\left(\frac{7+4\sqrt3}3\right)\pi}

Cada uma das circunferências menores possui área igual a \pi\cdot1^2=\pi.
Chamemos a região em torno do centro O, compreendida entre as três circunferências menores, de S.
A região S tem área igual à área do \triangle C_1C_2C_3 menos 3 vezes a sexta parte da área de uma circunferência menor (como o \triangle C_1C_2C_3 é equilátero, então seus ângulos internos são iguais a 60º, que é um sexto de 360º, isto é, a volta inteira de uma circunferência).
A região S tem área, portanto, de:

A_S=\frac{\sqrt3}4(\overline{C_1C_2})^2-3\cdot\frac\pi6=\frac{\sqrt3}4\cdot2^2-\frac\pi2=\boxed{\sqrt3-\frac\pi2}

A área da circunferência maior sem as três áreas das circunferências menores e sem a região S é:

\left(\frac{7+4\sqrt3}3\right)\pi-3\pi-\sqrt3+\frac\pi2=\left(\frac{14+8\sqrt3-18+3}6\right)\pi-\sqrt3=\\\\=\boxed{\left(\frac{8\sqrt3-1}6\right)\pi-\sqrt3}

Como a região A é uma das três regiões iguais que sobram, devemos, por fim, dividir o número obtido acima por 3:

\frac13\cdot\left[\left(\frac{8\sqrt3-1}6\right)\pi-\sqrt3}\right]=\boxed{\left(\frac{8\sqrt3-1}{18}\right)\pi-\frac{\sqrt3}3}}
2 5 2
Ok. Eu estava na dúvida se a região A era tudo o que não incluía as circunferências menores ou se era só aquele setor onde está a letra A.
Vou completar.
Apenas o setor onde está a letra A ^^
Paulo, veja se agora está correto. :)
Ok, obgd ^^