Respostas

2014-08-19T22:17:35-03:00
Vamos lá.

veja :gênero de um polígono significa a nomenclatura (ou numero de lados) desse polígono.
Bem,dito isso, vamos a sua questão.
Deseja-se saber qual é o polígono cujo gênero ( ou número de lados ) é 2\9 do número de diagonais.
Note que o número de diagonais de um polígono é dado pela seguinte fórmula:

d= n*(n-3)\2, em que ''d'' é o numero de diagonais e ''n'' é o numero de lados ( é o gênero do polígono).
Como o numero de lados é igual a 2\9 do numero de diagonais, então substituiremos ''n'' por (2\9)*d=2d\9 Fazendo, portanto, essa substituição, ficaremos com :

d= (2d\9)*[(2d\9) - 3)\2 ------ multiplicando em cruz, temos:

2*d = (2d\9)  \ (2d\9 - 3)
2d = (2d\9) \  (2d\9 - 3) ------dividindo ambos os membros por ''2d'', vamos ficar apenas com : 

1= (1\9) \ (2d\9 - 3) -----veja : no denominador (2d\9 - 3. o mmc é igual a 9. Assim , utilizando-o,temos:

1= (1\9) \ [(1*2d - 9*3)\9]
1= (1\9) \ [2d - 27)\9] ------efetuando o produto indicado, ficamos com:

1=1*(2d - 27)\9*9
1=(2d - 27)\81 ----- multiplicando em cruz, temos;

81*1 =2d - 27
81= 2d - 27 --- passando (-27) para o 2º membro, temos:

81 + 27 = 2d
108 = 2d --- vamos apenas inverter, ficando:

2d = 108
d=108\2
d=54 <--- Este é o numero de diagonais do nosso polígono.

Como o numero de lados ( ou gênero) é 2\9 do numero de diagonais, e o numero de diagonais é 54, então vamos calcular quanto é 2\9 de 54.
Assim:

(2\9)*54 = 2*54\9 = 108\9 = 12 lados <--- Esta é a resposta. O gênero do polígono procurado é um polígono de 12 lados ( é um docecágno)..