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  • Usuário do Brainly
2014-08-24T04:35:12-03:00
A equação dada é equivalente a xy=144(x+y)=144x+144y,portanto, isolando x, obtemos x=\dfrac{144y}{y-144}.

Como x e y devem ser inteiros positivos, o denominador y-144 deve ser um número inteiro positivo, digamos, y-144=n

Substituindo essa expressão no valor de x, obtemos:

x=\dfra{144(n+144)}{n}=144+\dfrac{144^2}{n}

Como x deve ser um número inteiro, n deve ser um divisor de 144^2

Sendo 144^2=12^4=2^8\cdot3^4, seus divisores são os números d da forma d=2^a\cdot3^b, com 0\le a\le8 e 0\le b\le4

Como há 9 valores possíveis para a e 5 valores possíveis para b, concluímos que 144^2 tem 9\times5=45 divisores.

Assim, para cada divisor n de 144^2, obtemos uma solução
(x, y)=\left(144+\dfrac{144^2}{n}, n+144\right) da equação \dfrac{xy}{x+y}=144 dada.

Portanto, essa equação possui 45 pares de números inteiros positivos (x, y) que a satisfazem.