Riquinho distribuiu 1 000,00 reais entre os seus amigos Antônio, Bernardo e Carlos da seguinte maneira: deu, sucessivamente, 1 real ao Antônio, 2 reais ao Bernardo, 3 reais ao Carlos, 4 reais ao Antônio, 5 reais ao Bernardo etc. Qual foi a quantia recebida por Bernardo?

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Respostas

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  • Usuário do Brainly
2014-08-24T06:37:29-03:00
Os 1~000 reais de Riquinho foram repartidos em parcelas crescentes a partir de 1, de modo que 1+2+3+\dots+n\le1~000.

Como 1+2+3+\dots+n é a somados n primeiros números inteiros a partir de 1, temos 1+2+3+\dots+n=\dfrac{1}{2}(1+n)n.

Assim, queremos encontrar o maior n tal que \dfrac{1}{2}(1+n)n=1+2+3+\dots+n\le1~000, ou seja, tal que n^2+n-2~000\le0.

Como n^2+n-2~000 é igual a -2~000 para n=0 e o coeficiente dominante desse polinômio é 1>0, sabemos que os valores de n^2+n-2~000 são negativos para todo n entre 0 e a raiz positiva do polinômio quadrático x^2+x-2~000

Pela fórmula de Bhaskara, a raiz positiva é dada por:

x=\dfrac{-1+\sqrt{1+8~000}}{2}\approx44,22,
portanto n^2+n>2~000 para n\ge45. Assim, Riquinho distribuiu apenas 44 parcelas. 

Como Bernardo recebeu a segunda parcela, a quinta parcela (5=2+3), a oitava parcela (8=2+2\times3), e assim por diante, também recebeu a última, já que 44=2+14\times3, num total de

2+5+8+11+\dots+44=\dfrac{1}{2}(44+2)\times15=23\times15=345 reais.
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2014-08-24T10:28:46-03:00
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Tenha bons estudos !
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