Respostas

2014-08-26T17:05:51-03:00
Olá Beatrizmoreiran,

Os depósitos do pai formam uma P.G de primeiro termo a1 = 1, razão q = 2 e último termo an = 2048, já que os valores crescem sempre multiplicando o termo antecedente por 2 e sabendo que o pai para no momento que o valor do depósito atingisse 2048. Essa é a P.G:
(1, 2, 4, 8, 16... ..., 2048)

A primeira pergunta que temos que nos fazer é:
Quanto tempo demora para o depósito atingir o valor de 2.048R$?

Isso é o mesmo que perguntar qual é o número do termo final 2048, já que cada termo dessa P.G representa um mês. Para descobrir isso, podemos recorrer à representação geral de uma P.G:
a_{n} = a_{1}*q^{n-1} \\ 2048 = 2^{n-1}

Como 2048 pode ser representado por 2^11, temos que:
2^{11} = 2^{n-1} \\ 11 = n-1 \\ n =12

Portanto, sabemos que o 2.048 é o 12º termo dessa P.G finita. Ou seja, após 12 meses (ou 1 ano) o valor do depósito atinge 2048.

Como o pai repete o processo até que o filho complete 21 anos, teremos essa P.G repetida 21 vezes. Em um ano, o valor da soma de todos os 12 depósitos será dado pela soma dos 12 termos dessa P.G, obtida por:
S_{n} =  \frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q} \\ \\  S_{12} =   \frac{1-2^{12}}{1-2}  \\  \\ S_{12} =  \frac{1-4096}{-1} \\  \\ S_{12} =  \frac{-4095}{-1} \\  \\ S_{12} = 4095

Logo, por ano, o pai deposita 4.095R$ nessa caderneta de poupança. Após 21 anos, o montante de depósitos será dado por:
M = 4095*21
M = 85.995R$

Bons estudos!



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