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A melhor resposta!
2013-08-18T02:22:09-03:00
Prova por indução em n, fixando o m:

I) n=2 => u_{m+2} = u_{1}u_{m}+u_{2}u_{m+1}
E isso é verdade para todo m, pela definição da sequência.

II) Supondo que seja verdade pra n=k: u_{m+k} = u_{k-1}u_{m}+u_{k}u_{m+1}
Verificando pra n=k+1:
u_{m+k+1} = u_{k} u_{m}  +  u_{k+1}u_{m+1}

E somando as duas igualdades membro a membro:
u_{m+k} + u_{m+k+1}=u_{k-1}u_{m}+u_{k}u_{m+1}+u_{k}u_{m}+u_{k+1}u_{m+1}
u_{m+k+2}=u_{m}(u_{k-1}+u_{k})+u_{m+1}(u_{k}+u_{k+1})
u_{m+k+2}=u_{m}u_{k+1}+u_{m+1}u_{k+2}

Que era o resultado esperado, logo aquela relação sempre vale para todo n>1. Pra provar pra m é a mesma coisa, só trocar as letras.
2 4 2
Respondi a outra l,á grande...
lá **
olhei a outra hj, só tive a idéia hj tbm. consegui provar só uma parte. como faz pra provar que se 4 divide u_m então 6 divide m?
Eu também só consegui fazer uma parte :(