Sabendo-se que a equação x²+(a-9)x+b+2=0 possui soluções r e s e a equação x²+(a-10)x+b+5=0 possui soluções r e t, onde a e b são inteiros positivos e r,s e t, nessa ordem, são inteiros consecutivos, então a+b é igual a:
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13

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Respostas

A melhor resposta!
  • Usuário do Brainly
2014-08-30T01:24:11-03:00
Dada uma equação do segundo grau, ax^2+bx+c=0, se x' e x" são suas raízes, temos:

S=x'+x"=\dfrac{-b}{a}

P=x'\cdot x"=\dfrac{c}{a}

Na equação x^2+(a-9)x+(b+2)=0, as soluções são r e s.

Assim:

r+s=\dfrac{-(a-9)}{1}=-a+9

r\cdot s=\dfrac{(b+2)}{1}=b+2

Do mesmo moodo, na equação x^2+(a-10)x+(b+5)=0, as soluções são r e t.

Com isso:

r+t=\dfrac{-(a-10)}{1}=-a+10

r\cdot t=\dfrac{(b+5)}{1}=b+5

Mas, como r,s e t, nessa ordem, são inteiros consecutivos, temos:
 
s=r+1 e t=s+1=r+1+1=r+2.

Deste modo, podemos reescrever a equação r\cdot s=b+2 como r(r+1)=b+2;
 
E a equação r\cdot t=b+5 como r(r+2)=b+5.

Note que, r(r+1)=r^2+r e r(r+2)=r^2+2r.

Assim, r(r+2)-r(r+1)=r^2+2r-r^2-r=r.

Como r(r+2)-r(r+1)=b+5-b-2=3, segue que, r=3.

Com isso, s=4 e t=5. Logo, 

r(r+1)=b+2~~\Rightarrow~~3\cdot4=b+2~~\Rightarrow~~b+2=12

\boxed{b=10}

r+s=-a+9~~\Rightarrow~~3+4=-a+9~~\Rightarrow~~a=9-3-4

\boxed{a=2}

Portanto, a+b=10+2=12.

Alternativa D

Espero ter ajudado, até mais ^^
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