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  • Usuário do Brainly
2014-08-29T16:01:38-03:00
1)

a) 4m+n=8

Dada uma equação diofantina linear, ax+by=c, com a, b, c\in\mathbb{Z}, se (x_0, y_0) é uma solução particular, as soluções gerais são da forma x=x_0+bt e y=y_0-at, com t\in\mathbb{Z}.

Neste caso, uma solução particular é (m_0, n_0)=(1, 4).

Com isso, as soluções gerais são da forma:

\rhd m=1+t

\rhd n=4-4t

Tomando t=1, obtemos (m, n)=(2, 0) e encontramos outro
par ordenado que satisfaz a equação dada.

Para t=2, temos (m, n)=(3, -4) e assim por diante.

Podemos escrever os pares:

(m, n)=(1,4),(2,0),(3,-4),(4,-8),(5,-12)

b) \dfrac{a}{2}-b=1

Uma equação equivalente é a-2b=2, obtida quando multiplicamos a
original por 2.

Uma solução particular é (a_0, b_0)=(4,1) e as soluções gerais são da forma:

\bullet a=4-2t

\bullet b=1-t

Podemos escrever as soluções a seguir, tomando t=0, t=2, \dots e t=4:

(a,b)=(4,1)(2,0),(0,-1),(-2,-2),(-4,-3).

c) x-y=10

Uma solução particular é (x_0, y_0)=(11,1) e as soluções gerais são:

\rhd x=11-t

\rhd y=1-t


Cinco delas são:

(x,y)=(11,1),(10,0),(9,-1),(8,-2),(7,-3)

d) 2x+y=15

Uma solução particular é (x_0, y_0)=(5, 5); As soluções gerais são:

\bullet x=5+t

\bullet y=5-2t

Cinco pares ordenados que satisfazem essa equação são:

(x,y)=(5,5),(6,3),(7,1),(8,-1),(9,-3)

2)

a) 3x+2y=-12

Se o par ordenado (-2,-3) é solução da equação dada, devemos ter:

3\cdot(-2)+2\cdot(-3)=-12

Temos 3\cdot(-2)+2\cdot(-3)=-6-6=-12.

Assim, 3\cdot(-2)+2\cdot(-3)=-12 e o par ordenado (-2,-3) é solução da equação 3x+2y=-12.

b) m-4n=10

Se o mesmo par é solução dessa equação, temos que:

(-2)-4\cdot(-3)=10

Note que, (-2)-4\cdot(-3)=(-2)+12=10

E, portanto, (-2)-4\cdot(-3)=10.

Logo, podemos afirmar que, o par ordenado (-2,-3) também é solução da equação m-4n=10.

Espero ter ajudado, até mais ^^
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