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2014-08-31T18:16:54-03:00
Olá, Lucas !

a) \begin{cases} x+y=7 \\ 2x^2-y^2=46 \end{cases}.

Da primeira equação, temos y=7-x. Substituindo na segunda, obtemos:

2x^2-(7-x)^2=46~\Rightarrow~2x^2-49+14x-x^2-46=0~\Rightarrow~x^2+14x-95=0

\Delta=14^2-4\cdot1\cdot(-95)=196+380=576

Assim, x=\dfrac{-14\pm\sqrt{576}}{2}=\dfrac{-14\pm24}{2}=-7\pm12.

x'=-7+12=5 e x"=-7-12=-19.

Se x=5, temos y=7-5=2.

Se x=-19, obtemos y=7-(-19)=26

As soluções são (x,y)=(5,2) e (x,y)=(-19,26).


b) \begin{cases} x-y=2 \\ x^2+y^2=34 \end{cases}

Como x-y=2, temos (x-y)^2=2^2~\Rightarrow~x^2-2xy+y^2=4.

Mas, x^2+y^2=34, logo, 34-2xy=4, ou seja, xy=15.

Da primeira equação, temos x=2+y. Logo, (2+y)y=15, isto é, y^2+2y-15=0.

y=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-15)}}{2\cdot1}=\dfrac{-2\pm\sqrt{64}}{2}=\dfrac{-2\pm8}{2}.

Assim, y'=\dfrac{-2+8}{2}=3 e y"=\dfrac{-2-8}{2}=-5.

Para y=3, temos x=2+3=5. Para y=-5, obtemos x=2+(-5)=-3.

As soluções são (x,y)=(5,3) e (x,y)=(-3,-5).


c) \begin{cases} 2x-3y=1 \\ xy=2 \end{cases}

Da segunda equação, temos x=\dfrac{2}{y}. Substituindo na primeira, obtemos:
\dfrac{4}{y}-3y=1~\Rightarrow~3y^2+y-4=0

\Delta=1^2-4\cdot3\cdot(-4)=1+48=49.

Deste modo, y=\dfrac{-1\pm\sqrt{49}}{2\cdot3}=\dfrac{-1\pm7}{6}.

y'=\dfrac{-1+7}{6}=1 e x"=\dfrac{-1-7}{6}=\dfrac{-8}{6}=\dfrac{-4}{3}.

Se y=1, temos x=\dfrac{2}{1}=2.

Se y=\dfrac{-4}{3}, obtemos x=\dfrac{2}{\dfrac{-4}{3}}=\dfrac{-3}{2}.

As soluções são (x,y)=(\frac{-3}{2},\frac{-4}{3}) e (x,y)=(2,1)..

Espero ter ajudado ^^
2014-08-31T18:25:20-03:00

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A) x + y = 7⇒ x = 7 - y
2x² - y² = 46
2[( 7 - y) ( 7 - y)] - y² = 46
2 ( 49 - 14y + y²) - y² - 46 = 0
98 - 28y + 2y² - y² - 46 = 0
y² - 28y + 52 = 0
a = 1
b = -28
c = 52
Δ = b² - 4ac
Δ = (-28)² - 4.1.52 ⇒ Δ = 784 - 208 ⇒ Δ = 576
y = -b +- √Δ / 2a
y = - (-28) +- √ 576 /2.1
y = 28 +- 24 /2
y' = 52/2 ⇒ y' = 26
y" = 4/2 ⇒ y" = 2

x = 7 - y
x' = 7 - 26 ⇒ x' = - 19
x" = 7-2 ⇒ x" = 5

b) x - y = 2 ⇒ x = 2 + y
x² + y² = 34

(2 + y). (2 + y) + y² = 34
4 + 2y + 2y + y² + y² - 34 =0
2y² + 4y - 30 = 0  :2
y² + 2y -15 = 0
a = 1
b = 2
c = -15
Δ = b² - 4ac
Δ = 2² -4.1.(-15) ⇒ Δ = 4 + 60 ⇒ Δ = 64
y = -b +- √Δ /2a
y = -2 +- √64/ 2.1
y = -2 +- 8/2
y' = 6/2 ⇒ y' = 3
y" = -10/2 ⇒ y" = - 5
x = 2 + y
x' = 2 + 3 ⇒ x' = 5
x" = 2 - 5 ⇒ x" = - 3

c) 2x - 3y = 1 ⇒ 2x = 1 + 3y ⇒ x = 1 + 3y / 2

y ( 1 + 3y / 2) = 2
y + 3y² / 2 = 2
y + 3y² = 4
3y² + y -4 = 0

a = 3
b = 1
c = -4
Δ = b² - 4ac
Δ = 1² - 4.3.(-4) ⇒ Δ = 1 + 48 ⇒ Δ = 49
y = -b + - √Δ / 2a
y = -1 + - 7 / 6
y' = 6/6 ⇒ y' = 1
y" = -8/6 ⇒ y" = - 4/3

x = 1 + 3y /2
x' = 1 + 3(1) /2 ⇒ x' = 4/2 ⇒ x' = 2
x" = 1 + 3 ( - 4/3)/2 ⇒x" = 1 - 12/3 /2 ⇒ x" = 1 - 4 /2 ⇒x" = -3/2