Uma casa tem um quintal em formato de triangulo retangulo, com 20m de hipotenusa e um angulo de 30°. Usando raiz de 3 = 1,7, se preciso, pode-se concluir que, p/ colocar uma piscina nesse quinta, deixando um deck de 0,5m em torno dela, se lado deve ter, no máximo, cerca de:
a)3,6
b)4,2
c)4,7
d)5,3
e)5,8

1

Respostas

2013-08-20T21:33:15-03:00
O lado do quadrado inscrito deverá ter por medida:
0,5m + x + 0,5m = x + 1m (ou simplesmente x+1)

Um ângulo agudo de 30° em um triângulo retângulo com hipotenusa medindo 20 metros, mostra-nos que um dos catetos deverá medir:
x/20m = sen 30°
x/20m = 0,5
x = 0,5 * 20m
x = 10m

Nesse caso, o outro cateto deverá medir:
y² = 20² - 10²
y² = 400 - 100 = 300
y = √300 = 10√3
y = 10 * 1,7
y = 17m

Façamos um esboço desse triângulo:

Trace um segmento de reta horizontal de uns 5 cm, identificando sua extremidade esquerda pela letra A e a direita pela letra B.
Do extremo A, levante uma perpendicular de uns 3 cm, identificando seu extremo superior pela letra C.

Ligue os extremos livres desses dois segmentos, formando o triângulo retângulo da questão.
Sobre o lado CB, escreva 20, a medida da hipotenusa.

Fazendo o ângulo B igual aos 30° mencionados, fica:
CA = cateto vertical
AB = cateto horizontal.
CB = hipotenusa

CA/CB = sen B = sen 30° = 1/2
CA/20 = 1/2
CA = 20 * 1/2 = 10m

Conhecendo-se a hipotenusa (20) e o cateto vertical (10), aplicando Pitágoras poderemos conhecer a medida do cateto horizontal AB:
(AB)² = (CB)² - (CA)²
(AB)² = 20² - 10² = 400 - 100 = 300
AB = √300 = 10√3 = 10*1,7 = 17

Assim, o referido triângulo retângulo tem por medidas:
Cateto vertical = 10m
Cateto horizontal = 17m
Hipotenusa = 20m

Agora, dentro desse triângulo, faça o esboço do quadrado inscrito.
Dentro do cateto vertical CA, marque com a letra M o vértice do quadrado que fica nesse lado e com a letra N o vértice do quadrado que toca a hipotenusa.
E dentro do cateto horizontal AB, marque com a letra P o vértice do quadrado que fica em seu canto inferior direito.
Temos, assim, o quadrado inscrito definido como sendo AMNP.

A seguir, observe que acima e à direita do quadrado temos 2 triângulos retângulos: 
Um menor (CMN) e outro maior (NPB), semelhantes entre si (ambos são retângulos e têm iguais seus três ângulos).

Dada a semelhança entre os dois e também com o triângulo retângulo original CAB, temos:
CM/MN = NP/PB = CA/AB ..... (I)

Ora, a medida dos lados do quadrado deve ser, segundo descrito no texto, igual a:
0,5m + x + 0,5m = x + 1m (ou simplesmente x+1)
Logo, cada parte de nossa figura deverão ter por medida:
MA = x+1
CM = 10 - (x+1) = 9-x
MN = x+1
NP = x+1
PB = 17 - (x+1) = 16-x
CA = 10
AB = 17

Aplicando tais valores à expressão (I), fica:
(9-x)/(x+1) = (x+1)/(16-x) = 10/17

(9-x)/(x+1) = 10/17
(x+1).10 = (9-x).17
10x + 10 = 153 - 17x
10x + 17x = 153 - 10
27x = 143
x = 143/27
x = 5,296
x ≈ 5,3 cm

Alternativa (D)
1 5 1