Respostas

2013-08-28T22:49:44-03:00
Para isso, precisamos de saber duas coisas:
1) Distância entre dois pontos, que será usada para calcular o tamanho dos lados do triângulo.

2) Condição de existência de um triângulo, para saber se os lados que encontramos podem formar um triângulo.


Usaremos as seguintes equações:
1) Distância euclidiana (se não conhece, é igual ao teorema de pitágoras): dados dois pontos A(x0,y0) e B(x1,y1), a distância entre eles é raiz((x1-x0)²+(y1-y0)²). Se você desenhar os dois pontos no papel, vai ver que é exatamente como o teorema de pitágoras, em que você tem um lado |x1-x0|, um lado |y1-y0| e o outro lado, que é o que queremos, pode-se usar o teorema de pitágoras para encontrar, L²=(x1-x0)²+(y1-y0)²

2) Se temos um triângulo com três lados, a, b, c, tal que a<=b<=c, então: c<a+b. Note que isso também é fácil de perceber (tente desenhar um caso em que a+b>=c, usando uma régua, se não conseguir perceber isso mentalmente).


Agora que temos nossas ferramentas, vamos começar a resolver o nosso problema:
Lado 1 (AB): AB=raiz[(-1-2)²+(-2-4)²]=raiz(9+36)=raiz(45)=3*raiz(5)
Lado 2 (BC): BC=raiz[(2-(-4))²+(4-10)²]=raiz(36+36)=raiz(72)=6*raiz(2)
Lado 3 (CA): CA=raiz[(-4-(-1))²+(10-(-2))²]=raiz(9+144)=raiz(153)=3*raiz(17)

Notamos uqe AB<BC<CA, portanto, testamos se CA<AB+BC.
raiz(153)<raiz(45)+raiz(72)
Para facilitar nosso trabalho, vamos por os dois lados ao quadrado:
[raiz(153)]²<[raiz(45)+raiz(72)]²
153<45+2*raiz(45)*raiz(72)+72
153<117+2*raiz(45)*raiz(72)
153<117+2*[3*raiz(5)]*[6*raiz(2)]
153<117+36*raiz(5)*raiz(2)

Facilmente notamos que isso é verdadeiro**, pois 117+36=153, e como raiz(5)*raiz(2)>1, então obrigatoriamente 117+36*raiz(5)*raiz(2)>117+36.

Portanto, esses pontos podem** ser os vértices de um mesmo triângulo. **correção