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2013-09-02T05:55:00-03:00
Obs: ignore todos os  que aparecerem... o LaTeX do site está com problemas =/...

Chamaremos o ângulo de lançamento de \theta, a velocidade de V_{0} e a gravidade de g.

Decompondo V_{0} em V_{x_{0}}V_{y_{0}}, temos:
V_{x_{0}} = V_{0} \cos(\theta) 
V_{y_{0}} = V_{0} \sin(\theta) 

Pressupondo que o projétil foi lançado de uma altura zero, o tempo de queda é igual ao tempo de subida, e é dado por:
t_{Q} = t_{S} = \frac{V_{y_{0}}}{g}

Portanto, o tempo total é dado por:
t = t_{Q} + t_{S} = 2 t_{S} = 2 \frac{V_{y_{0}}}{g}

Vamos calcular o alcance, S_{x}, do projétil:
S_{x}=S_{x_{0}}+V_{x_{0}}t + \frac{at^{2}}{2}

Como partimos de um ponto inicial S_{x_{0}} = 0 e não há nenhuma aceleração influenciando no eixo x, a = 0, temos:
S_{x}=V_{x_{0}}t

S_{x}=V_{x_{0}} * 2 * \frac{V_{y_{0}}}{g}

S_{x}=V_{0}\cos(\theta) * 2 \frac{V_{0}\sin(\theta)}{g}

Apenas rearranjando os termos:
S_{x}=\frac{V_{0}^{2}}{g} * 2 \sin(\theta)\cos(\theta)

Lembrando que que 2\sin(\theta)\cos(\theta) = \sin(2\theta), temos:
S_{x}=\frac{V_{0}^{2}}{g} * \sin(2\theta)

Como V_{0} e g independem do ângulo, só precisamos analisar o valor de \sin(2\theta).

O valor máximo da função seno acontece quando o ângulo é de 90º. Portanto, para maximizar o alcance S_{x}, temos que garantir que:
2\theta=90º.

\theta=45º

c.q.d.
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