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2013-09-02T02:31:49-03:00
Um anagrama não passa de um rearranjo das letras. Então, podemos considerar que temos as seguintes letras para montar uma palavra: P, R, O, F, E, S, S, O, R. São 9 letras, com algumas repetidas: 2R, 2S, 2O.

a) Para a primeira letra, temos 9 opções; para a segunda, sobram 8; para a terceira, sobram 7; e assim por diante, então temos 9!. Porém, algumas letras são iguais. Temos 2R, então para cada palavra a R b R c, nós contamos tanto a R1 b R2 c quanto a R2 b R1 c. Ou seja, contamos duas vezes mais palavras do que deveríamos, então dividimos o resultado por 2. Para o S e O a mesma coisa.
9!/(2*2*2)=9!/8
Note que se alguma dessas letras se repetisse 3 vezes, dividiríamos por 3!=6. É fácil perceber isso:
a R1 b R2 c R3 d
a R1 b R3 c R2 d
a R2 b R1 c R3 d
a R2 b R3 c R1 d
a R3 b R1 c R2 d
a R3 b R2 c R1 d
Para 4 letras iguais, seria 4!, e assim vai...
Resposta: 9!/8

b) Começando por P, temos uma letra fixa e sobram 8; dentre elas, três se repetem duas vezes. Então, são 8!/(2*2*2)=8!/8=7!

c) Começando por R, temos uma letra fixa e sobram 8; dentre elas, duas se repetem duas vezes. Então, são 8!/(2*2)=8!/4

d) Temos 3 vogais: O, E, O.
Fixamos o O; sobram 8 letras, dentre as quais duas se repetem; temos 8!/4.
Fixamos o E; sobram 8 letras, dentre as quais três se repetem; temos 8!/8=7!

Note que tanto faz se fixarmos o primeiro O ou o segundo O. As palavras geradas são iguais, então nós só contamos uma vez (ou seja, o resultado para o O não é 2*8!/4, e sim apenas 8!/4).

Portanto, são 7!+8!/4 palavras.
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