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2013-09-16T23:17:53-03:00

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\dfrac{n}{\frac{n(n-3)}{2}}=\dfrac{2}{5}\Longrightarrow\dfrac{n}{1}\times\dfrac{2}{n(n-3)}=\dfrac{2}{5}\Longrightarrow\dfrac{2}{n-3}=\dfrac{2}{5}\Longrightarrow2n-6=10\\\\
\Longrightarrow2n=16\Longrightarrow n=\dfrac{16}{2}\Longrightarrow \boxed{n=8}

O polígono é o OCTÓGONO
21 4 21
2013-09-16T23:21:54-03:00

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Sabemos que o número de diagonais de um polígono convexo em função do número de lados é:

d = \frac{n(n - 3)}{2}

Onde d = Número de diagonais e n = Número de lados

Como o exercício disse que a razão entre n e d é igual a 2 / 5:

 \frac{n}{d} =  \frac{2}{5}

Multiplicando em cruz, temos que 5n = 2d

d = \frac{n(n - 3)}{2}

Passando o 2 pro outro lado, vai multiplicando:

2d =  n(n - 3)

Como 2d = 5n:

5n = n(n - 3)

Aplicando a distributiva:

5n = n^{2} - 3n
0 = n^{2} - 3n - 5n
 n^{2} - 8n = 0

Colocando n em evidência:

n(n - 8) = 0

Pra zerarmos a equação, ou n = 0 ou (n - 8) = 0

n = 0 Não serve, pois não existe polígono de 0 lados

n - 8 = 0
n = 8

O polígono com 8 lados é o octágono.

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