Respostas

A melhor resposta!
2013-09-19T11:20:34-03:00
Propriedade do produto do logaritmo:
Se encontrarmos um logaritmo do tipo: loga(x * y) devemos resolvê-lo, somando o logaritmo de x na base a e o logaritmo de y na base a.
loga (x * y) = loga x + loga y

Exemplo:
log2(32 * 16) = log232 + log216 = 5 + 4 = 9

Propriedades do quociente do logaritmo:
Caso o logaritmo seja do tipo logax/y, devemos resolvê-lo subtraindo o logaritmo do numerador na base a pelo logaritmo do denominador também na base a.
logax/y = logax – logay

Exemplo:
log5(625/125) = log5625 – log5125 = 4 – 3 = 1

Propriedade da potência do logaritmo:
Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo, veja como:
logaxm = m*logax

Exemplo:
log3812 = 2*log381 = 2 * 4 = 8

Espero que tenha ajudado!

1 5 1
2013-09-19T12:57:01-03:00

Esta é uma Resposta Verificada

×
As Respostas verificadas contém informações confiáveis, garantidas por um time de especialistas escolhido a dedo. O Brainly tem milhões de respostas de alta qualidade, todas cuidadosamente moderadas pela nossa comunidade de membros, e respostas verificadas são as melhores de todas.
Vamos relembrar a definição, as propriedades P 1, P 2 e P 3 e a Propriedade de mudança de base de logaritmos, vamos lá

Definição:

Log _{a}b=c

chama-se Log de c, na base a, é igual a b

onde:

a  é a base 
c  é o logaritmo
b  é o logaritmando


Determine x nos casos abaixo:

a) Log\left _{0,25}16 =x

pelas propriedades da potenciação, sabemos que,
 
0,25=  \frac{1}{4}=  \frac{1}{2 ^2} }=2 ^{-2} e que 16 = 2 ^{4}  

==> 2 ^{-2(x)}=2 ^{4}  ==> note que temos aqui uma equação exponencial, 

e como temos bases iguais, eliminamos as bases e conservamos os expoentes:

2 ^{-2x}=2 ^{4}  ==> -2 x^{}=4 ==>  x= \frac{4}{-2}

 x=-2


b) Log\left  _{ \sqrt{5} } \frac{1}{625}=x aplicando as propriedades de expoente racional e as mesmas propriedades já aplicadas :

 Log _{ \sqrt{5} } \frac{1}{625}=x  ==>  \sqrt{5} ^{x}= \frac{1}{625}

<===>  \sqrt[2]{5 ^{1} } ^{(x)}= \frac{1}{5 ^{4} }=5 ^{ \frac{1}{2}x }=5 ^{-4}

eliminando as bases e conservando os expoentes:

 \frac{1}{2}x=-4 ==> x= \frac{-4}{ \frac{1}{2} } ==> 

 x=-8


c) Log _{x}49=2 ==>  x^{2} =49 ==> x= \sqrt[2]{7 ^{2} }

==> x=7 ^{ \frac{2}{2} } ==> x= \frac{+}{} 7 como, pela condição

de existência, a base deve ser maior que 1 e diferente de zero,  x=7


d) Log\left _{2}0,5=x+1 ==> 2 ^{x+1}= \frac{1}{2}

<==> 2 ^{x+1}=2 ^{-1}  eliminando as bases e conservando os expoentes

x+1=-1 ==> x=-2
 


Propriedades decorrentes da definição:

D 1    Log _{a}1 ==> Log _{a}1=0 ==> a ^{0}=1

D 2    Log _{b}b ==> Log _{b}b=1 ==> b ^{1}=b


a) Log _{25}1 25 ^{0}=1

b) Log _{4}4 ==> Log _{4}4=1 ==> 4 ^{1}=4



Propriedades Operatórias
 
P 1    Logaritmo do Produto:

Log \left a*b=Log\left a+Log\left b


P 2    Logaritmo do Quociente:

Log\left  \frac{a}{b}=Log\left a-Log \left b

P 3   Logaritmo de Potência:

Log \left b ^{a}=a*Log\left b=a*b


Dados Log2=0,301; Log3=0,477; Log5=0,699 e Log7=0,8451

a) Calcule Log6

Resolução:

sabemos que a forma fatorada de 6 é 2*3, então:

Log6=Log2*3=Log2*Log3 aplicando a 1a propriedade, Logaritmo do produto:

<===> Log2*Log3 ==> Log2+Log3 substituindo os valores de log dados

acima, temos:  0,301+0,477 ==> Log6=0,778


b) Calcule Log0,6

sabemos que 0,6 é o mesmo que  \frac{3}{5} ,então o logaritmo ficará assim:

Log \frac{3}{5} aplicando a P 2, temos:

Log \frac{3}{5}=Log3-Log5 substituindo os valores de log:

<===> 0,477-0,699 ==> Log0,6= -0,222


c) Calcule Log240

fatorando o 240, obtemos 2 ^{4}*3*5 , então o log ficará assim:

Log2 ^{4}*3*5=Log2 ^{4}*Log3*Log5=Log2 ^{4}+Log3+Log5

note que aplicamos a P 1, agora vamos aplicar a P 3, e o log ficará assim:

Log2 ^{4}+Log3+Log5=4Log2+Log3+Log5

substituindo os valores de log dados acima, temos:

4*0,301+0,477+0,699 ==> Log240=1,204+1,176 ==> Log240=2,38



Propriedade de Mudança de Base 

Os logaritmos estudados até agora encontravam-se na base 10, (porque quando os logaritmos estão na base 10, esta base é omitida), agora vamos precisar mudar a base do logaritmo dado para facilitar os cálculos dos logaritmos, e é dada pela seguinte propriedade:

Log\left  _{b}a= \frac{Log\left a}{Log\left b}


Dada esta propriedade, determine Log _{2,3} \sqrt[3]{16}   

sabemos que 2,3 é o mesmo que  \frac{7}{3} então o log ficará assim:

Log _{ \frac{7}{3} } \sqrt[3]{16}  aplicando a mudança de base:

Log _{ \frac{7}{3} } \sqrt[3]{16}= \frac{Log \sqrt[3]{16} }{Log \frac{7}{3} }

transformando a raiz cúbica de 16 em expoente racional, temos:

  \sqrt[3]{16}= \sqrt[3]{2 ^{4} }=2 ^{ \frac{3}{4} }    então o Log ficará assim:

 \frac{Log2 ^{ \frac{3}{4} } }{Log \frac{7}{3} } aplicando a P 2 e a P 3

 \frac{Log2 ^{ \frac{3}{4} } }{Log \frac{7}{3} }= \frac{ \frac{3}{4}Log2 }{Log7-Log3}

como os logaritmos, agora encontram-se na base 10, é só substituir os valores de log

 \frac{ \frac{3}{4}Log2 }{Log7-Log3}= \frac{ \frac{3}{4}*0,301 }{0,8451-0,477}

<===>  \frac{0,2257}{0,3681}= 0,6131

espero ter ajudado :D