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A melhor resposta!
2013-09-24T16:31:59-03:00
Imagine uma casa. Simples assim, pois se olhar tanto pela frente quanto pelo fundo você vê um pentágono. Agora imagine você estando dentro da casa. O piso será um quadrado, as paredes laterais serão quadrados e o telhado será formado por dois quadrados inclinados. Entendeu? 

Resumindo, teremos:
- 5 faces quadrangulares 
- 2 faces pentagonais

Veja a imagem ilustrando o que disse:
1 5 1
Como temos 15 arestas disponíveis para montar o poliedro, sendo que o pentágono (P) tem 5 arestas e o quadrado (Q) tem 4 arestas. Considerei que cada aresta será compartilhada com duas faces. Então podemos montar a seguinte expressão,

15 = (5P + 4Q)/2

Como podemos ver estas duas equações são iguais ficando assim:

30 = 5P + 4Q
Agora basta atribuir valores a P ou Q para encontrar o outro. Por exemplo se considerarmos que tem uma face pentagonal, teremos:

P = 1
30 = 5P + 4Q
30 = 5 . 1 + 4Q
30 - 5 = 4Q
Q = (30 - 5)/4
Q = 25/4
Q = 8,25
Como o resultado não foi inteiro então não podemos ter somente uma face pentagonal neste poliedro. Então vamos supor que tenha 2 faces pentagonais. Assim,

P = 2
30 = 5P + 4Q
30 = 5 . 2 + 4Q
30 - 10 = 4Q
Q = (30 - 10)/4
Q = 20/4
Q = 5
Pronto! Este é o resultado. Temos que para por aqui pois se supormos que o poliedro teria 3 faces pentagonais já furaria o quesito da quantidade de vértices pois não conseguiríamos conectar as faces quadradas com somente 10 vértices. Você pode até usar a expressão acima e checar que não obteríamos números inteiros para Q com P > 2.
Muito bom!!! Aos próximos que chegarem aqui agradeçam ele também, ele explicou muito bem! :D