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2013-09-25T23:51:42-03:00

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SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Classificação e Resolução por Escalonamento


|7x+3y-z=10

|x-2y+z= -7
|    y+z=2

Primeiro vamos calcular o determinante da matriz e classifica-lo, e para classifica-lo, devemos observar a seguinte regra:

Se o determinante for diferente de 0, ele é possível e determinado S.P.D.
Se for igual a zero, ele é possível e indeterminado S.P.I.
Mas se for igual a zero e um de seus determinantes principais forem diferente de 0, aí trata-se de um sistema impossível e indeterminado  S.I.I.

                       0  -  7  -  3 = -10
    \     \      \    /      /     /
    | 7    3    -1 |    7    3
    | 1   -2     1 |    1   -2   ===> detP= -25
    | 0    1     1 |    0    1
   /      /      /   \      \     \
                    -14 + 0 + (-1) = -15

O determinante principal deu -25, isso quer dizer que este sistema é SPD, ou seja, possível e determinado.


Vamos resolver o sistema, pelo método do escalonamento:


  7x+3y-z=10        primeiro vamos multiplicar a equação II por (-7), afim de zerar a        
   x-2y+z= -7      variável x, e copiar a equação I, veja:
       y+z=2       

7x+3y-z=10                zerando a variável x na equação II, vamos tomar o sistema
-7x+14y-7z=49          destacado e descobrir y e z, mas sempre copiando a equa-:
          y + z=2            ção I.

7x+3y-z=10
     14y-7z=49             esta equação vai ser tomada para descobrirmos
         y + z=2              os valores y e z:

|14y-7z=49  I
|   y + z=2    II      isola y na equação II     y=2-z

substitui y na equação I ==> 14(2-z)-7z=49 ==> 28-14z-7z=49

<====> -14z-7z=49-28 ==> -21z=21 ==> z=21/(-21) ==> z= -1

 Agora vamos substituir z em quaisquer das equações, por exemplo na equação II:

<====> y+z=2 ==> y+(-1)=2 ==>y-1=2 ==> y=2+1==> y= 3

Agora é só substituir y e z na 1a equação com todas as incógnitas juntas, na ocasião, eu tomei a equação II do sistema lá em cima:

x-2y+z= -7
x-2*3+(-1)= -7
    x-6 - 1 = -7
      x-7= -7
       x= -7+7
        x=0




Solução x,y,z {(0, 3, -1)}