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2013-09-27T15:49:49-03:00
Como o perímetro é a soma de todos os lados, temos que calcular o tamanho dos lados. Como temos as coordenadas dos vértices, então podemos usar a fórmula que calcula a distância entre dois pontos para cada par de pontos dado.

Fórmula da distância entre dois pontos, ((x_{1}, y_{1}, z_{1}) e (x_{2}, y_{2}, z_{2})):

d =  \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2 + (z_{2} - z_{1})^2}

Para AB, teremos:

A(3, 1, 2)    B(5, -2, 1)

d_{AB} = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2 + (z_{2} - z_{1})^2}

d_{AB} = \sqrt{(5 - 3)^2 + (-2 - 1)^2 + (1 - 2)^2}

d_{AB} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-1)^2}

d_{AB} = \sqrt{4 + 9 + 1}

d_{AB} = \sqrt{14}

Para BC, teremos:

B(5, -2, 1)    C(0, 3, -3)

d_{BC} = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2 + (z_{2} - z_{1})^2}

d_{BC} = \sqrt{(0 - 5)^2 + (3 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2}

d_{BC} = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + (-4)^2}

d_{BC} = \sqrt{25 + 25 + 16}

d_{BC} = \sqrt{66}

Para AC, teremos:

A(3, 1, 2)    C(0, 3, -3)

d_{AC} = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2 + (z_{2} - z_{1})^2}

d_{AC} = \sqrt{(0 - 3)^2 + (3 - 1)^2 + (-3 - 2)^2}

d_{AC} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-5)^2}

d_{AC} = \sqrt{9 + 4 + 25}

d_{AC} = \sqrt{38}

Como o perímetro é a soma de todos os lados. Basta somar as distâncias calculadas acima. Assim:

p = d_{AB} + d_{BC} + d_{AC}

p = \sqrt{14} + \sqrt{66} + \sqrt{38}
2 5 2