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2013-10-04T23:22:17-03:00
Como podemos observar, a diagonal do quadrado equivale ao diametro do circulo.
diametro é duas vezes o raio
diagonal do quadrado achamos por pitagoras, one "a" é a aresta do quadrado

diametro = diagonal

2r =  \sqrt{a^{2} +  a^{2} }
2r =  \sqrt{2  a^{2} }
2r = a \sqrt{2}
r = a \frac{ \sqrt{2} }{2}

a área de um circulo é  \pi  r^{2} , mas como queremos a metade, será então:  \frac{\pi r^{2}}{2}

como temos que r = a \frac{ \sqrt{2} }{2} .. substituimos:

  \frac{\pi (a \frac{ \sqrt{2} }{2})^{2}}{2}

  \frac{\pi a^{2} \frac{2}{4}}{2}

  \frac{\pi a^{2} \frac{1}{2}}{2}

 \frac{ \pi  a^{2} }{4}

ésta é a metade da area de um circulo em função da aresta do quadrado inscrito nele, agora, percebemos:
a área do quadrado é  a^{2}
 a^{2} \frac{ \pi a^{2} }{4}
1 >  \frac{ \pi }{4}
assim, vemos que a area do quadrado inscrito em um circulo é maior que a metade do próprio circulo