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2013-10-10T17:02:41-03:00
Vamos simplificar a equação.

\frac{3+mi}{2-i}=1+2i

3+mi=(1+2i)(2-i)

3+mi=2-i+4i-2i^2

Sabemos que i^2= \sqrt{(-1)^2} =-1. Então:

3+mi=2-i+4i-(-2(-1))

3+mi=2-i+4i+2

3+mi=2+2+4i-i

3+mi=4+3i

Para que o número seja imaginário puro a parte real deve ser zero, ficando somente a parte imaginária. Assim:

a+bi (Número complexo, onde a é a parte Real e b a parte imaginária)

Então, para ser um número imaginário puro devemos ter a=0b \neq 0. Vamos isolar a parte imaginária na equação simplificada:

3+mi=4+3i

3-4+mi=3i

-1+mi=3i

Podemos perceber o valor m deve ter um valor que cancele com o -1 e gere o 3i de forma a manter a igualdade. Logo, m será um número complexo. Assim:

m=m_R+m_i

Substituindo m em -1+mi=3i. Teremos:

-1+mi=3i

-1+(m_R+m_i)i=3i

(-1+m_R)+(m_i)i=0+3i

Igualando as partes reais e as partes imaginárias teremos:

I) -1+m_Ri=0



II) m_ii=3i

Vamos resolver I). Assim:

-1+m_Ri=0

m_Ri=1

m_R=\frac{1}{i}

m_R=\frac{1}{i}.1

m_R=\frac{1}{i}.\frac{i}{i}

m_R=\frac{i}{i^2}

Sabemos que i^2= \sqrt{(-1)^2} =-1. Então:

m_R=\frac{i}{-1}

m_R=-i

Agora vamos resolver II). Assim:

m_ii=3i

m_i=\frac{3i}{i}

m_i=\frac{3.1}{1}

m_i=3

Finalmente, vamos montar o m=m_R+m_i. Assim:

m=m_R+m_i

m=-i+3

m=3-i

Logo o valor de m será 3-i. De forma que tenhamos um número imaginário puro.
3 4 3