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2013-10-15T09:50:11-03:00
Como sabemos, no triângulo retângulo a hipotenusa tem a maior medida. 
Temos um triângulo retângulo isósceles, isso quer dizer que além do ângulo reto, ele possui dois lados iguais. 
AB = AC = catetos
BC = hipotenusa

O problema nos da a seguinte informação:
BC = 2 \sqrt{2}

Temos o famoso teorema de Pitágoras onde, 
(hipotenusa)^2 = (cateto)^2 + (cateto)^2
Temos a hipotenusa BC
BC = 2 \sqrt{2}
E dois catetos iguais, que daremos o valor de x
AB = AC = x
Então no teorema de Pitágoras fica:
(2 \sqrt{2})^2 = x^2 + x^2
2\times2\sqrt{2\times2} = 2x^2
4\sqrt{4} = 2x^2
4\times2 = 2x^2
8 = 2x^2
x^2 = \dfrac{8}{2}
x^2 = 4
x =  \sqrt{4}
x = 2

Bom, temos outro triângulo retângulo dentro de ABC, sendo BD = y, teorema de Pitágoras novamente:
( \sqrt{13})^2 = 2^2 + (2+x)^2
13 = 4 + 4 + 4x^+ x^2
13 = 8+ 4x^+ x^2
13 - 8 = 4x + x^2
5 = 4x + x^2
4x + x^2 - 5 = 0

Bhaskara
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\times1\times(-5)}}{2\times1}
x=\frac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2}
x=\frac{-4\pm\sqrt{36}}{2}
x'=\frac{-4+6}{2} = \frac{2}{2} = 1
x''=\frac{-4-6}{2} = \frac{-8}{2} = -4
Como estamos falando de medidas, usamos a raiz positiva, então, 
BD= 1
1 5 1