(UFLA-MG) O valor da expressão numérica dada por(a expressão está em anexo!) é um número inteiro. Determine esse número.PS.: Esse é um exercício de Logarítmo. Fiquei em dúvida em relação ao desenvolvimento da conta. O valor de x = 17. Por gentiliza, alguém poderia desenvolver os cálculos para eu ver onde estou errando?

1

Respostas

A melhor resposta!
2013-10-15T11:09:50-03:00
(10+4 \sqrt{2})\log_2{[\frac{2^2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}}]}

Primeiro resolvemos o produto da soma pela diferença:

(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)

Onde (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Assim:

(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2

Agora, substituímos o resultado na expressão:

(10+4 \sqrt{2})\log_2{[\frac{2^2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}}]}

(10+4 \sqrt{2})\log_2{(\frac{2^2.2}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}})}

(10+4 \sqrt{2})\log_2{(\frac{2^2.2^1}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}})}

(10+4 \sqrt{2})\log_2{(\frac{2^3}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}})}

Pela propriedade do logarítimo \log{\frac{a}{b}}=\log{a}-\log{b}. Fazemos:

(10+4 \sqrt{2})\log_2{(\frac{2^3}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}})}

(10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-\log_2{(2^{\sqrt{2}}.\sqrt{2})})

Pela propriedade do logarítimo \log{a.b}=\log{a}+\log{b}. Fazemos:

(10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-(\log_2{2^{\sqrt{2}}}+\log_2{\sqrt{2}})

(10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-\log_2{2^{\sqrt{2}}}-\log_2{\sqrt{2}})

Sabemos que \sqrt{2}=\sqrt[2]{2^1}=2^{\frac{1}{2}}. Então substituímos na expressão dentro do logarítimo:

(10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-\log_2{2^{\sqrt{2}}}-\log_2{\sqrt{2}})

(10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-\log_2{2^{\sqrt{2}}}-\log_2{2^{\frac{1}{2}}})

Pela propriedade do logarítimo \log{a^b}=b.\log{a}. Fazemos:

(10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-\log_2{2^{\sqrt{2}}}-\log_2{2^{\frac{1}{2}}})

(10+4 \sqrt{2})(3.\log_2{2}-\sqrt{2}.\log_2{2}-\frac{1}{2}.\log_2{2})

Pela propriedade do logarítimo \log_a{a}=1. Fazemos:

(10+4 \sqrt{2})(3.\log_2{2}-\sqrt{2}.\log_2{2}-\frac{1}{2}.\log_2{2})

(10+4 \sqrt{2})(3.1-\sqrt{2}.1-\frac{1}{2}.1)

(10+4 \sqrt{2})(3-\sqrt{2}-\frac{1}{2})

Agora basta simplificar. Assim:

(10+4 \sqrt{2})(\frac{2.3-2.\sqrt{2}-1}{2})

(10+4 \sqrt{2})(\frac{6-1-2\sqrt{2}}{2})

(10+4 \sqrt{2})(\frac{5-2\sqrt{2}}{2})

(2.5+2.2\sqrt{2})(\frac{5-2\sqrt{2}}{2})

2.(5+2\sqrt{2})(\frac{5-2\sqrt{2}}{2})

Resolvendo o produto da soma pela diferença (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Assim:

2.(5+2\sqrt{2})\frac{(5-2\sqrt{2})}{2}

2.\frac{[5^2-(2\sqrt{2})^2]}{2}

\frac{2}{2}.[25-2^2(\sqrt{2})^2]

1.(25-4.2)

25-8

17
3 5 3
Muito obrigado, agora eu entendi.