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2013-10-17T14:13:51-03:00
O primeiro objeto tem a equação horária
H =\dfrac{gt^2}{2} (queda livre)

4 segundos depois terá percorrido:
h = \dfrac{10\times4^2}{2}
h = 80 m

Então a altura do primeiro objeto quando o segundo objeto foi lançado é
h_0 = H - 80

e sua velocidade:
v = v_0 - gt
v=0-10\times4
v = - 40 m/s

Esta será a altura (incial) do primeiro objeto quando o segundo objeto é lançado, assim
h_1 = h_0 + v_0 t' - \frac{gt'^2}{2}
h_1 = (H - 80) - 40 t' - \frac{10t'^2}{2}
h_1 = (H - 80) - 40 t' - 5 t'^2

O tempo que leva para tocar o solo, h1 = 0m, é
0 = (H - 80) - 40 t' - 5 t'^2
0 = (16 - \frac{H}{5}) + 8 t' + t'^2
aonde dividimos por -5

As raízes serão
t'=\dfrac{-8\pm\sqrt{8^8-4(16-\frac{H}{5})}}{2}

t' = \dfrac{-8\pm\sqrt{64-64+\frac{4H}{5}}}{2}

t' = \dfrac{-8\pm \sqrt{\frac{4H}{5}}}{2}

t' = -8\pm\sqrt{\frac{H}{5}}

Lembre-se que o tempo não pode ser negativo assim a solução matemática e física será
t' = -4 +  \sqrt{\frac{4}{5}


Para o segundo objeto foi dado que
v_2 = - 80 m/s

Assim
h_2 = h_{0'} + v_{0'} t' - \frac{gt'^2}{2}
aonde h_{0'} é a altura na qual o segundo objeto é lançado, então 
h_2 = H - 80 t' - \frac{10t'^2}{2}
h_2 = H - 80 t' - 5 t'^2

O tempo que o segundo objeto gasta para atingir o solo (h2 = 0 m) é então
0 = H - 80 t' - 5 t'^2
t'^2 + 16 t' - \frac{H}{5}

As raízes serão
t'=\dfrac{-16\pm\sqrt{16^2-4(-\frac{H}{5})}}{2}
t'=\dfrac{-16\pm\sqrt{256+\frac{H}{5}}}{2}
t'=\dfrac{-8\pm\sqrt{256+\frac{4H}{5}}}{2}
t'=-8\pm \sqrt{64+\frac{H}{5}}

novamente o tempo não pode ser negativo assim a solução matemática e física será
t' = -8 + \sqrt{64+\dfrac{H}{5}}

Como t' para os dois objetos é igual então

-8 + \sqrt{64+\dfrac{H}{5}} = -4 + \sqrt{\dfrac{H}{5}}

 \sqrt{65+\dfrac{H}{5}}=4+\dfrac{H}{5}

64 + \dfrac{H}{5}=(4+\sqrt{\dfrac{H}{5}})^2

64 + \dfrac{H}{5} = 16 + 8 \sqrt{\dfrac{H}{5}} + \dfrac{H}{5}

48 = 8\sqrt{\dfrac{H}{5}}

6 = \sqrt{\dfrac{H}{5}}

36 = \dfrac{H}{5}


portanto
H = 180 m