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2013-10-23T22:33:48-02:00
\frac{2}{(x^2-1)^2}- \frac{1}{2x^2+4x+2}- \frac{1}{1-x^2}

Vamos simplificar o denominador do segundo termo. Assim:

2x^2+4x+2=2(x^2+2x+1)

Agora encontrar suas raízes usando a fórmula de Báskara. Assim:

x^2+2x+1=0

x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4.1.1}}{2.1}
x=\frac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}
x=\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2}
x=\frac{-2}{2}
x=-1

Logo, teremos 2 raízes iguais. Assim:

x^2+2x+1=[x-(-1)]^2=(x+1)^2

Agora voltando a expressão inicial:

\frac{2}{(x^2-1)^2}- \frac{1}{2(x+1)^2}- \frac{1}{1-x^2}

Passando o sinal para o denominador do terceiro termo, teremos:

\frac{2}{(x^2-1)^2}-\frac{1}{2(x+1)^2}+\frac{1}{-(1-x^2)}

\frac{2}{(x^2-1)^2}-\frac{1}{2(x+1)^2}+\frac{1}{-1+x^2}

\frac{2}{(x^2-1)^2}-\frac{1}{2(x+1)^2}+\frac{1}{x^2-1}

Para somar as frações devemos encontrar o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) dos denominadores. Assim:

MMC((x^2-1)^2,2(x+1)^2,(x^2-1))=(x^2-1)^2.2.(x+1)^2=2(x^2-1)^2(x+1)^2

\frac{2.2(x+1)^2-1.(x^2-1)^2+1.2(x^2-1)(x+1)^2}{2(x^2-1)^2(x+1)^2}

\frac{4(x+1)^2-(x^2-1)^2+2(x^2-1)(x+1)^2}{2(x^2-1)^2(x+1)^2}

\frac{4(x^2+2x+1)-(x^4-2x^2+1)+2(x^2-1)(x^2+2x+1)}{2(x^4-2x^2+1)(x^2+2x+1)}

\frac{4x^2+8x+4-x^4+2x^2-1+2(x^4+2x^3+x^2-x^2-2x-1)}{2(x^6-2x^4+x^2+x^5-2x^3+2x+x^4-2x^2+1}

\frac{4x^2+8x+4-x^4+2x^2-1+2x^4+4x^3+2x^2-2x^2-4x-2}{2x^6-4x^4+2x^2+2x^5-4x^3+4x+2x^4-4x^2+2}

\frac{2x^4+4x^3+6x^2+4x+1}{2x^6+2x^5-2x^4-4x^3-2x^2+4x+2}
[4-x^2+2x-1+2x^2-2]/[2(x-1)^2(x+1)^2]
[x^2+2x+1]/[2(x-1)^2(x+1)^2]
[(x+1)^2]/[2(x-1)^2(x+1)^2]
agora basta cancelar (x+1)^2 com o denominador. assim:
[1]/[2(x-1)^2]=1/2(x-1)^2