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2013-10-29T10:52:22-02:00

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a_{1} + a_{2} + a_{3} = 24
a_{1} + (a_{1} + r) + (a_{1} + 2r) = 24
3a_{1} + 3r = 24
3(a_{1} + r) = 24
a_{1} + r = 24 / 3
a_{1} + r = 8
a_{2} = 8

a_{1} + r = 8
a_{1} = 8 - r

a_{1}*a_{2}*a_{3}=312
a_{1}*8*a_{3}=312
a_{1}*a_{3}=312/8
a_{1}*(a_{1} + 2r) = 39
(8 - r)(8 - r + 2r) = 39
(8 - r)(8 + r) = 39
8^{2} - r^{2} = 39
64 - 39 = r^{2}
25 = r^{2}
 \sqrt{25} = r
r =5

a_{1} = 8 - r
a_{1} = 8 - 5
a_{1} = 3
_______________________________

a_{54} = a_{1} + 53r
a_{54} = 3 + 53*5
a_{54} = 3 + 265
a_{54} = 268

S_{n} = (a_{1} + a_{n})*n/2
S_{54} = (a_{1} + a_{54})*54/2
S_{54} = (3 + 268)*27
S_{54} = 271*27
S_{54} = 7317
2013-10-29T14:02:57-02:00

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NOTA: Existem duas fórmulas pro cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA. São elas:
1- S_n = n.a_1 + \frac{r.n.(n-1)}{2}
2- S_n = \frac{n.(a_1 + a_n)}{2}
Vou usar, nessa questão, a fórmula número 1. Acho mais prática (mesmo sendo maior :P)

Pela definição de PA temos que:

a_{2}= a_{1} + r, que pode ser reescrito como a_{1}= a_{2}-r, e a_{3} = a_{2}+r.

A soma dos três primeiros termos vale, então:

a_1 + a_2 + a_3 = 24
a_2-r + a_2 + a_2+r = 24
3.a_2 = 24
a_2 = 8

Agora que temos o segundo termo podemos encontrar a razão:

a_1.a_2.a_3 = 312
(a_2-r).8.(a_2+r) = 312
(8-r)(8+r) = 39
64-r^2=39
r^2 = 64-39 = 25
r = \pm 5

Agora que temos o valor de r podemos encontrar o valor do primeiro termo. Como temos dois valores possíveis pra razão teremos dois valores possíveis pro a_1 e, portanto, pra soma dos 54 termos:

I) r=5
a_1 = a_2 - r = 8-5
a_1 = 3

Então a soma dos 54 termos vale:
S_{54} = 54.3 + \frac{5.54.53}{2}
S_{54} = 162 + 7155
\boxed{S_{54} = 7317}

II) r= -5
a_1 = a_2 - r = 8-(-5) = 8+5
a_1 = 13

Então a soma dos 54 termos vale:
S_{54} = 54.13 + \frac{-5.54.53}{2}
S_{54} = 702 - 7155
\boxed{S_{54} = -6453}