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2013-10-30T13:10:14-02:00
                     COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III    3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU                        www.professorwaltertadeu.mat.br     GEOMETRIA ANALÍTICA – RETAS - 2011 - GABARITO   1) Considere as retas r e s definidas por r:  kx - (k + 2)y = 2 e s: ky  - x = 3k. Determine k de modo que:   a) r e s sejam concorrentes                         b) r e s sejam paralelas                c) r e s sejam coincidentes.   Solução. Pela definição, retas concorrentes possuem um ponto de interseção, as paralelas nenhum ponto de interseção e as coincidentes, todos seus pontos são de interseção. Nos termos de Geometria Analítica, analisamos os coeficientes angulares das retas: . a) retas concorrentes possuem os coeficientes angulares diferentes:   .   b) retas paralelas possuem os coeficientes angulares iguais:   .   c) retas coincidentes possuem os coeficientes angulares e os lineares iguais:   . Não é possível conciliar os valores de “k”.   Logo, não existe um valor de “k” que satisfaça a condição pedida.     2) Determine um ponto P’ simétrico ao ponto P(-1,6) em relação à reta de equação r: 3x - 4y + 2 = 0.   Solução. O ponto P’ será simétrico em relação à reta “r”, se estiver sobre a reta perpendicular, “s”, e à mesma distância de “r” que o ponto P, conforme a ilustração. O ponto de interseção entre as retas é o ponto M, ponto médio do segmento PP’. Efetuando os cálculos, temos: .   3) Calcule as coordenadas do ponto da reta de equação 2x - y + 3 = 0, que é eqüidistante dos pontos  A(3, 0) e  B(1, - 4). Solução. O lugar geométrico dos pontos que estão a mesma distância de dois pontos é a mediatriz do segmento que une esses pontos. O ponto pedido é a interseção entre a mediatriz do segmento AB e a reta indicada. Considerando “r” a reta informada, “t” a reta que passa por A e B e “s” a mediatriz do segmento AB (passa pelo ponto médio de AB) que é perpendicular a essa reta, temos:   .   Repare que a distância comum é de 4,6.   4) Determine a abscissa do ponto de interseção das retas r e s, sabendo que a reta r é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares, e passa pelo ponto P(1, -7), e a reta s passa  pelo ponto Q(5, - 17) e é paralela à reta de equação 2x - y + 3 = 0.  Solução. Os quadrantes ímpares são o I e o III. Logo, a bissetriz desses quadrantes possui equação y = x.   .   5) A reta r determina um ângulo de 120° com a reta s, cujo coeficiente angular é  O coeficiente angular de r vale:    a)                               b)                          c)                                d) Solução. O ângulo agudo formado entre duas retas é dado pela fórmula: . Como o ângulo indicado é 120º (obtuso), o agudo interno será de 60º.   . 6) (COVEST) Num triângulo ABC, retângulo em A, de vértices B(1, 1) e C(3, -2), o cateto que contém o ponto B é paralelo à reta ( r) 3x – 4y + 2 = 0. Determine a equação da reta que contém o cateto AC. Solução. O cateto AB está na reta, “s”, paralela a “r”. A reta que contém o cateto AC é perpendicular à reta “s”. Considerando a reta pedida como “t”, temos:   .   7) As  retas  r  e  (s)  de  equações  3x – y + 7 = 0  e  4x – y – 5 = 0  respectivamente  passam  pelo  ponto  P(a, b).  Calcule o valor de (a + b). Solução. Se ambas passam pelo ponto P, então ele é um ponto de interseção. Basta resolver os sistema.   . 8) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(3, 4) e é paralela à bissetriz do 2º quadrante.   Solução. A bissetriz do 2º quadrante passa pela origem com coeficiente angular -1. Logo sua equação é y = -x. A equação da reta paralela possuirá o mesmo coeficiente angular.   .   9) Considere o quadrilátero ABCD tal que A(-1, 2), B(1, 3), C(2,-2) e D(0,-3). Determine as coordenadas do ponto de encontro das suas diagonais. Solução. O ponto de encontro das diagonais é a interseção entre as retas que passam por AC e BD. Encontrando as equações dessas retas pelo determinante para recordar esse método, temos:   .   10) A reta r passa pelo ponto P(1,2) e é perpendicular à reta (s) 2x + 3y – 6 = 0. Ache os pontos de interseção de r com os eixos coordenados. Solução. A interseção com os eixos são os pontos de abscissa e ordenada nula.   .   11) Para todo número real p, a equação (p - 1)x + 4y + p = 0 representa uma reta. Calcule p de modo que a reta seja paralela à reta 4x – 2y + 6 = 0. Solução. Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular.   .   12) As  coordenadas do ponto P pertencentes à reta 3x – y – 17 = 0  cuja  distância  ao  ponto Q(2, 3) é mínima, são:   a)                    b)                       c)                 d)     e) (-1, -20) Solução. O ponto P da reta mais próximo ao ponto Q é o que está sobre a perpendicular a reta dada, passando por P e Q. Logo, P está na interseção entre as retas.   .   13) As retas r, s e t são definidas respectivamente, por 4x – 7y + 18 = 0, 2x – y – 6 = 0 e 4x + 3y – 2 = 0. Calcule a área da região limitada por essas retas. Solução. As retas são concorrentes duas a duas. Logo suas interseções formarão um triângulo. Sejam os pontos P, Q e R as interseções





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você está de brincadeira é, não entendi nada não seria dessa maneira a resposta que estou querendo. desculpe