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2013-11-06T01:06:48-02:00
Sejam a_1, \ a_2 \ e \ a_3 os três termos dessa PG. Pela definição podemos escrever a_1 = \frac{a_2}{q} \ e \ a_3 = 
a_2.q. Como o produto desses três termos é 1728 temos:

a_1.a_2.a_3 = 1728 \Rightarrow \frac{a_2}{q}.a_2.a_2.q = 1728 = a_2^3 \\ \underline{a_2 = 12}

Agora temos que encontrar os outros dois termos. Sabemos que:

 \left \{ {{a_1+a_2+a_3=37} \atop {a_1.a_2.a_3=1728}} \right. \Rightarrow  \left \{ {{a_1+a_3=25} \atop {a_1.a_3=144}} \right.

Perceba que a_1 \ e \ a_3 são as raízes de x²-25x+144 = 0, logo teremos dois possíveis valores para a_1 e, consequentemente, dois possíveis valores para a_3. Resolvendo aquela equação encontramos que  a_1 = 9 \ ou \ a_1 = 16. Logo temos duas possíveis PGs:

1- (9, 12, 16)
2- (16, 12, 9)
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2013-11-06T02:02:12-02:00

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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Três números em P.G.:

 \frac{x}{q},x,xq

A soma destes números é 37,    \frac{x}{q}+x+xq=37 (I)

E o produto é 1 728,  \frac{x}{q} .x.xq=1728 (II)

Primeiro vamos tratar do produto destes números em P.G., assim:

 \frac{x}{q}.x.xq=1728 , eliminando q, temos que:

 x^{3}=1728

x= \sqrt[3]{1728}

x=12

Agora vamos substituir x, na soma dos três termos em P.G. (caso II).

 \frac{12}{q}+12+q.12=37

 \frac{12}{q}+12+12q=37

 \frac{12}{q}+12q=37-12

 \frac{12}{q}+12q=25

12+12q*q=25*q

12 q^{2}-25q+12=0

Por Báskara obtemos as raízes q'= \frac{4}{3} \left e \left q"= \frac{3}{4}

Substituindo, no esquema montado acima, vem:

1a raiz da equação:

P.G.( \frac{x}{q},x,xq)

P.G.( \frac{12}{ \frac{4}{3} },12,12* \frac{4}{3})

P.G.(9,12,16)


2a raiz da equação:

P.G.( \frac{x}{q},x,xq)

P.G.( \frac{12}{ \frac{3}{4} },12,12* \frac{3}{4})

P.G.(16,12,9)

Ou seja, temos duas P.G.s, uma crescente e outra decrescente.
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