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2013-11-06T18:40:08-02:00
Sejam b_i os termos da PG e a_i os termos da PA. A partir da definição de PG temos que \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2}, que pode ser reescrito como b_1.b_3 = b_2^2. A partir disso podemos montar o sistema:

 \left \{ {{b_1.b_3=b_2^2} \atop {b_1+b_2+b_3=42}} \right. \Rightarrow \left \{ {{b_1.b_3=64} \atop {b_1+8+b_3=42}} \right. \Rightarrow  \left \{ {{b_1.b_3=64} \atop {b_1+b_3=34}} \right.

Os valores de b_1 \ e \ b_3 são raízes da equação x²-34x+64=0, então encontraremos dois valores para b_1 e, portanto, dois valores para b_3. Resolvendo aquela equação encontramos b_1 = 32 \ ou \ b_1 = 2.

Pela questão temos que b_1 = a_3 \ e \ b_2 = a_2 = 8. A partir da definição de PA temos:

a_2 - a_1 = a_3 - a_2 \Rightarrow \underline{a_1 = 16 - a_3}

Agora é só substituir os possíveis valores de a_3 para encontrarmos o valor de a_1.

 i) \ a_3 = 32 \\ a_1 = 16 - 32 \Rightarrow a_1 = -16 <0 \ (n\~{a}o \ pode) \\ \\ ii) \ a_3 = 2 \\ a_1 = 16 - 2 \Rightarrow \boxed{\boxed{a_1 = 14}}
2 4 2