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2017-01-10T06:26:08-02:00

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Resolver a inequação modular:

\mathsf{|x^2-4|<3x\qquad\quad(i)}


•   Condição de existência.

Sabemos que o módulo de um número real nunca é negativo, portanto, devemos ter necessariamente

\mathsf{0\le |x^2-4|<3x}\\\\ \mathsf{0<3x}\\\\ \mathsf{x>0\qquad\quad(ii)}


•   Resolvendo a inequação para \mathsf{x>0}:

    Considerando apenas os reais positivos, vamos descobrir onde a expressão do módulo muda de sentença. Para isso, temos que resolver a equação

     \mathsf{x^2-4=0}\\\\ \mathsf{x^2=4}\\\\ \mathsf{x=\pm\,\sqrt{4}}\\\\ \mathsf{x=\pm\,2}

     Como estamos interessados apenas na parte positiva, a expressão do módulo muda de sentença no ponto em que \mathsf{x=2}.


Fazendo o quadro de sinais, temos

\begin{array}{cc} \mathsf{x^2-4}&\quad\mathsf{\underset{0}{\circ}\!\overset{-----}{\textsf{------------}}\!\!\underset{2}{\bullet}\!\!\overset{++++~~}{\textsf{------------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}} \end{array}


ou seja,

\left\{\! \begin{array}{ll} \mathsf{x^2-4<0}&\mathsf{para~0<x<2}\\ \mathsf{x^2-4\ge 0}&\mathsf{para~x\ge 2} \end{array} \right.\\\\\\\\ \Rightarrow~~\mathsf{|x^2-4|}=\left\{\! \begin{array}{ll} \mathsf{4-x^2}&\mathsf{para~0<x<2}\\ \mathsf{x^2-4}&\mathsf{para~x\ge 2} \end{array} \right.

________


Sendo assim, vamos dividir a resolução em dois casos:

•   Caso (I):   Para \mathsf{0<x<2:}
 
Nesse caso a inequação modular fica:

\mathsf{4-x^2<3x}\\\\ \mathsf{0<3x+x^2-4}\\\\ \mathsf{x^2+3x-4>0}\\\\ \mathsf{x^2+4x-1x-4>0}\\\\ \mathsf{x(x+4)-1(x+4)>0}\\\\ \mathsf{(x+4)(x-1)>0}\quad\longleftarrow\quad\textsf{inequa\c{c}\~ao-produto\qquad(iii)}


As raízes do lado esquerdo são \mathsf{x_1=-4}  e  \mathsf{x_2=1}.


Montando o quadro de sinais, temos

\begin{array}{cc} \mathsf{x+4}&\quad\mathsf{\underset{0}{\circ}\!\overset{+++++}{\textsf{------------}}\!\!\underset{1}{\bullet}\!\!\overset{+++++}{\textsf{------------}}\underset{2}{\circ}}\\\\ \mathsf{x-1}&\quad\mathsf{\underset{0}{\circ}\!\overset{-----}{\textsf{------------}}\!\!\underset{1}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{+++++}{\textsf{------------}}\underset{2}{\circ}}\\\\\\ \mathsf{(x+4)(x-1)}&\quad\mathsf{\underset{0}{\circ}\!\overset{-----}{\textsf{------------}}\!\!\underset{1}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{+++++}{\textsf{------------}}\underset{2}{\circ}} \end{array}


Como queremos que o lado esquerdo de \mathsf{(iii)} seja positivo, o intervalo de interesse é

\mathsf{1<x<2.}


Solução para o caso (I):  

\mathsf{S_{(I)}=\left]1,\,2\right[.}


________


•   Caso (II):   Para \mathsf{x \ge 2:}

Nesse caso a inequação modular fica:

\mathsf{x^2-4<3x}\\\\ \mathsf{x^2-3x-4<0}\\\\ \mathsf{x^2+x-4x-4<0}\\\\ \mathsf{x(x+1)-4(x+1)<0}\\\\ \mathsf{(x+1)(x-4)<0\quad\longleftarrow\quad\textsf{inequa\c{c}\~ao-produto}\qquad(iv)}


As raízes do lado esquerdo são \mathsf{x_1=-1}  e  \mathsf{x_2=4}.  Montando o quadro de sinais, temos

\begin{array}{cc} \mathsf{x+1}&\quad\mathsf{\underset{2}{\bullet}\!\overset{+++++}{\textsf{------------}}\!\!\underset{4}{\bullet}\!\!\overset{+++~~}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}}\\\\ \mathsf{x-4}&\quad\mathsf{\underset{2}{\bullet}\!\overset{-----}{\textsf{------------}}\!\!\underset{4}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{+++~~}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}}\\\\\\ \mathsf{(x+1)(x-4)}&\quad\mathsf{\underset{2}{\bullet}\!\overset{-----}{\textsf{------------}}\!\!\underset{4}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{+++~~}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}} \end{array}


Como queremos que o lado esquerdo de \mathsf{(iv)} seja negativo, o intervalo de interesse é

\mathsf{2\le x<4.}


Solução para o caso (II):  

\mathsf{S_{(II)}=\left[2,\,4\right[.}

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A solução para a inequação modular dada inicialmente é a união das soluções obtidas para cada caso:

\mathsf{S=S_{(I)}\cup S_{(II)}}\\\\ \mathsf{S=\left]1,\,2\right[\,\cup \left[2,\,4\right[}\\\\ \mathsf{S=\left]1,\,4\right[}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(nota\c{c}\~ao de intervalos)}


ou em notação usual

\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R}:~1\ \textless \ x\ \textless \ 4\}}.


Bons estudos! :-)


Tags:   inequação modular segundo grau quadrática analisar quadro de sinais função solução resolver álgebra

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