Sabe-se que em um grupo com m mulheres e n homens tem-se:

I - existem 21 maneiras diferentes de se formar uma dupla somente com mulheres;

II - existem 140 maneiras diferentes de se formar um conjunto de 3 pessoas, com pelo menos duas mulheres. Segundo essas condições, quantas pessoas há no grupo?

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Respostas

2013-11-22T17:43:43-02:00
Vc tem o gabarito? não tenho certeza se está certo.
2013-11-22T23:44:51-02:00
I)
Como existem 21 maneiras de formar duplas somente com mulheres temos:

C(m, 2) = \frac{m!}{2!(m - 2)!}= \frac{m(m-1)(m-2)!}{2!(m - 2)!}= \frac{m(m-1)}{2}=21[\tex]\\[tex] m^2-m=42[\tex]\\[tex]m^2-m-42=0[\tex]\\[tex] \Delta = (-1)^2 -4.1.(-42) = 169.

m= \frac{-(-1)+- \sqrt{169} }{2} =\left \{ {{m'=\frac{1+ 13}{2}}=14/2 =7 \atop {m''=\frac{1- 13}{2}}=-12/2 =-6}} \right.

Portanto temos que m = 7

II) Trio
Com duas mulheres
n.C(7,2)[\tex]\\Com três mulheres [tex]C(7,3)[\tex]\\Total de trios com pelo menos duas mulheres [tex]n.C(7,2)+C(7,3)= n\frac{7!}{2!(7-2)!}+\frac{7!}{3!(7-3)!}= n\frac{7.6.5!}{2!5!}+\frac{7.6.5.4!}{3!4!}= n\frac{7.6}{2}I)\\Como existem 21 maneiras de formar duplas somente com mulheres temos: [tex]C(m, 2) = \frac{m!}{2!(m - 2)!}= \frac{m(m-1)(m-2)!}{2!(m - 2)!}= \frac{m(m-1)}{2}=21[\tex]\\[tex] m^2-m=42[\tex]\\[tex]m^2-m-42=0[\tex]\\[tex] \Delta = (-1)^2 -4.1.(-42) = 169.

m= \frac{-(-1)+- \sqrt{169} }{2} =\left \{ {{m'=\frac{1+ 13}{2}}=14/2 =7 \atop {m''=\frac{1- 13}{2}}=-12/2 =-6}} \right.

Portanto temos que m = 7

II) Trio
Com duas mulheres
n.C(7,2)[\tex]\\Com três mulheres [tex]C(7,3)[\tex]\\Total de trios com pelo menos duas mulheres [tex]n.C(7,2)+C(7,3)= n\frac{7!}{2!(7-2)!}+\frac{7!}{3!(7-3)!}[\tex]\\[tex]= n\frac{7.6.5!}{2!5!}+\frac{7.6.5.4!}{3!4!}= n\frac{7.6}{2}+\frac{7.6.5}{6}=21n+35 = 140
 
21n+35 = 140

21n = 140-35=105
n = 105/21=5
n=5

Pessoas no grupo m+n=7+5=12[\tex] +\frac{7.6.5}{6}=21n+35 = 140
 
21n+35 = 140 

21n = 140-35=105

n = 105/21=5
n=5

Pessoas no grupo

[tex]m+n=7+5=12[\tex]