Respostas

2013-11-26T13:01:10-02:00
Resolução:Se dividirmos p(x) por (x - 1), temos quociente q(x) e resto R e podemos escrever:p(x) - R = q(x) . (x - 1)    (i)

Fazendo x = 1 nesta expressão, como sabemos que p(1) = 4, temos:p(1) - R = q(1).(1 - 1)
4 - R = q(1).04 - R = 0  R = 4

Agora sabemos que o quociente q(x) de (i) deixa resto 3 quando dividido por (x - 2). Supondo que temos um quociente q´(x) nessa divisão, então podemos escrever:

q(x) - 3 = q´(x) . (x - 2)   (ii)

Agora queremos saber o resto da divisão de p(x) por (x - 1).(x - 2), então vamos multiplicar os dois membros de (ii) por (x - 1), porque ficaremos com q(x).(x - 1), que podemos passar para p(x) por (i):

q(x) - 3 = q´(x).(x - 2)
[q(x) - 3].(x - 1) = q´(x).(x - 2).(x - 1)
q(x).(x - 1) - 3x + 3 = q´(x).(x - 2).(x - 1)

Substituindo q(x).(x - 1) de (i):q(x).(x - 1) - 3x + 3 = q´(x).(x - 2).(x - 1)
p(x) - R - 3x + 3 = q´(x).(x - 2).(x - 1)

Como R = 4
:p(x) - R - 3x + 3 = q´(x).(x - 2).(x - 1)
p(x) - 4 - 3x + 3 = q´(x).(x - 2).(x - 1)
p(x) - 3x - 1 = q´(x).(x - 2).(x - 1)
p(x) - (3x + 1) = q´(x).(x - 2).(x - 1)   (iii)

E o que está escrito aí em (iii), é que se tirarmos (3x + 1) de p(x) ele será divisível por (x - 1).(x - 2), ou seja, se dividirmos p(x) por (x - 1).(x - 2), teremos resto (3x + 1).

Resposta: O resto da divisão de p(x) por (x - 1).(x - 2) é (3x + 1).

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