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2013-11-27T15:04:16-02:00
Números Complexos Isobre Matemática por Paulo Marques
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Um pouco de históriaNo século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada
de -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .
Ex: Ö-16 = Ö16 . Ö-1 = 4.i = 4iPotências de i :
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 . i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = i4 . i = 1.i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1 
i7 = i6 . i = -i , etc.
Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 
1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero. 
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:
i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).Exemplo: Calcule i2001
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .
NÚMERO COMPLEXODefinição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo: 
z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária . 
Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)
w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)
u = 100i ( a = 0 e b = 100)
NOTAS:
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária. 
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .
d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real . 
Ex: z = 5 = 5 + 0i . 
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, 
o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos
.
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) .
Exercícios Resolvidos:1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.
2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável 
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada). 
Substituindo na expressão dada, vem: 
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64. 
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a-64.
3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 .Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável 
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada). 
Substituindo na expressão dada, vem: 
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i)50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100. 
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXODado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z .z = a + bi ® = a - bi 
Ex: z = 3 + 5i ;  = 3 - 5i
Obs : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados . Assim é que z = a + bi = (a,b). 
Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss. 
O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA BINÔMIARegra : Para dividir um número complexo z por outro w ¹ 0 , basta multiplicar numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador .Ex:  =  =  = 0,8 + 0,1 iAgora que você estudou a teoria, 
2013-11-27T15:17:52-02:00
REAIS:
Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2 = -y + 2i, determine x e y sendo que z1 + z2 = 0. 
1º) Observar as informações e aplicá-las.
z1 + z2 =
(2x + 1 -y) + (y +2) = 0, então..
2x+1 - y =0 -----> x = -3/2
y+2 = 0 -----> y = -2
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IMAGINÁRIOS:
Determine x sabendo que z = (x+2i)(1+i) deve ser imaginário puro.
1º) Efetuar.
z = (x+5i)(1+i) 
z = x + (x+5)i + 5i²
z= (x-5) + (x+5)i
2º) Imaginário puro = 0, então..
x - 5 = 0
x = 5
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POLINOMIOS:
Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² – mx + 3 é igual a 3. Calcule o valor de m. 
1º) 
p(x) = x² - mx + 3, raiz do polinomio: x =3!! Agora é só substituir.
p(x) = x² - mx + 3
3² - m.3 + 3 = 0
9 - 3m + 3 = 0
- 3m = 9 - 3
- 3m = 6
3m = -6
m = -2

Espero ter ajudado.