A figura mostra um lago circular de 10 km de raio. Deseja-se construir uma ponte CD sobre o lago que dê prosseguimento, em linha reta, a um caminho entre os pontos A e C que acaba no lago. Sabe-se que o segmento AB é tangente ao lago no ponto B e tem 12 km de comprimento, e que a distância de A até o lago, no ponto C nesse caminho é 8 km. Nessas condições, a maior distância possível, da ponte até uma pessoa situada na beira do lago, em km, é de:
Gabarito: 12 km
Como posso chegar até este resultado?

**(Considerar na foto apenas o que está de ROXO, peço desculpas pela rasura de azul feita na figura).

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Tem certeza que no gabarito a resposta é 12 km?
Absoluta! mas caso tenha interesse de me mostrar como que fez por mais que tenha dado outro resultado eu agradeceria :-)
as alternativas são: a) 3
B) 5 // C) 8 // D) 12 // E) 13
desculpe rsrs, eu não sei resolver essa

Respostas

2013-12-04T17:56:10-02:00
Chamando CD de x, temos que 12² = 8.(8+x)
8x+64 = 144
8x = 144-64
8x = 80
x = 80/8
x = 10 (ponte)
A maior distância possível passa pelo centro da circunferência e é perpendicular a CD.
Pegando o ponto médio de CD (M)  e sabendo que MD = 5, temos que a hipotenusa do triângulo MOC  = 10 (raio). Calculamos o segmento que vai do centro até M...
(CM)² = 10²-5² --> (CM)² = 100-25 --> (CM)² = 75 --> CM = \/75 --> CM = 5\/3...
A distância total é raio + 5\/3 = 10 + 5\/3 = 5(2+\/3) km ou 5(2+1,73) ~ 5(3,73) ~18,65 km

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por que?
Agora fiquei confusa... no exercício pede-se "a maior distância possível da ponte até uma pessoa situada na beira do lago" então a resposta final será 10 km ou 18,65 km?
A maior distância entre uma reta e um ponto é uma reta perpendicular e esta e que passa por este ponto. No caso, a reta faz 90º com a ponte e passa pelo centro da circunferência. Inclusive, a maior distância dentro de uma circunferência é o diâmetro e no caso da ponte, temos que nos basear por ele, considerando apenas a distância que vai da ponte até o lado oposto da circunferência.
entao a resposta final é 18,65?
Isso mesmo. Veja se ainda tem dúvida...