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2013-04-18T18:53:48-03:00

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Olá, Dieomenon.

 

Como sua pergunta é genérica, vou tomar, como exemplo mais abrangente possível, uma inequação onde o produto é de dois polinômios de segundo grau.

 

(9-x^2)(x^2-3x+2)>0

 

As raízes de  (9-x^2)  são -3 e 3 (verifique).

 

As raízes de  (x^2-3x+2)  são 1 e 2 (verifique).

 

Como o primeiro polinômio é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, pois o termo que acompanha  x^2  é negativo, temos que, entre as raízes -3 e 3,  9-x^2 > 0. Para x<-3 e x>3, temos que  9-x^2 < 0.

 

Como o segundo polinômio é uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois o termo que acompanha  x^2  é positivo, temos que, entre as raízes 1 e 2,    x^2-3x+2<0.  Para x<1 e x>2, temos que   x^2-3x+2 > 0

 

Façamos, então, o estudo dos sinais do produto  (9-x^2)(x^2-3x+2):

 

....(-)......-3......(+).......|.....(+).........|.....(+).......3....(-)...\\\\ ....(+)..........\underbrace{|.......(+).......1}_{\boxed{\text{produto} > 0}}....(-).......\underbrace{2.....(+).......|}_{\boxed{\text{produto} > 0}}...(+)...\\\\

 

Como desejamos que o produto na inequação seja maior do que zero, os intervalos onde isto é possível, como se pode observar no estudo de sinal acima é:

 

\boxed{-3 < x < 1 \text{ ou } 2 < x < 3}

 

 

2013-04-18T19:09:03-03:00

Resolver uma inequação produto consiste em encontrar os valores de x que satisfazem a condição estabelecida pela inequação. Para isso utilizamos o estudo do sinal de uma função. Observe a resolução da seguinte equação produto: (2x + 6)*( – 3x + 12) > 0.

Vamos estabelecer as seguintes funções: y1 = 2x + 6 e y2 = – 3x + 12.

Determinando a raiz da função (y = 0) e a posição da reta (a > 0 crescente e a < 0 decrescente).

y1 = 2x + 6
2x + 6 = 0
2x = – 6
x = –3

y2 = – 3x + 12
–3x + 12 = 0
–3x = –12
x = 4

Verificando o sinal da inequação produto (2x + 6)*(– 3x + 12) > 0. Observe que a inequação produto exige a seguinte condição: os possíveis valores devem ser maiores que zero, isto é, positivo.

Através do esquema que demonstra os sinais da inequação produto y1*y2, podemos chegar à seguinte conclusão quanto aos valores de x:
x Є R / –3 < x < 4