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2013-12-27T02:45:48-02:00

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1) Para calcular a equação da reta tangente a uma curva em um determinado ponto, necessitamos de duas coisas: as coordenadas do ponto e do coeficiente angular da reta;

2) Para calcular as coordenadas do ponto substituímos x por 4 e obtemos y:

y= \sqrt{x^3} -x^2+\frac{16}{x^2}  \\
\\
y= \sqrt{4^3} -4^2+\frac{16}{4^2}  \\
\\
y= \sqrt{64}-16+1  \\
\\
y= 8-16+1  \\
\\
y=7


Logo o ponto tem coordenadas (4,7)

3) Para determinar o coeficiente angular da curva no ponto, temos que calcular a derivada da função. Neste caso usaremos as regras da derivação da potência:

y= \sqrt{x^3}-x^2+\frac{16}{x^2}  \\
\\
y=x^{\frac{3}{2}}-x^2+16.x^{-2}  \\
\\
y'=\frac{3\sqrt x}{2}-2x+16.(-2)x^{-3} \\
\\
y'=\frac{3\sqrt x}{2}-2x-\frac{32}{x^3}

Agora substitui x por 4 para determinar o coeficiente angular da reta:

m=\frac{3\sqrt 4}{2}-2.4-\frac{32}{4^3}  \\
\\
m=3-8-\frac{1}{2} \\
\\
m=-\frac{11}{2}

4)  Agora vamos escrever a equação procurada:

Equação Fundamental:

y-7=-\frac{11}{2}(x-4)

Passando para Equação Geral:

y-7=-\frac{11}{2}(x-4) \\
\\
2y - 14 =-11(x-4)  \\
\\
2y-14=-11x+44  \\
\\
\boxed{-11x-2y+58=0  }