Determinada Empresa de nome fantasia Delta Ltda produz um determinado produto, com um custo mensal dado pela função: C(x)= 1/3
. Cada unidade deste produto é vendida por R$31,00. Determinar a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal.

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2013-12-31T01:05:27-02:00

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Cara Thaís, 

Questão deveras interessante. Vamos à análise!

Vale lembrar que a relação de Lucro é dada por receita menos o custo, ou seja, L=R-C.

Se quero o lucro máximo dessa relação, já sabemos que a receita é de 31 reais e temos a fórmula do custo, agora basta substituir na relação L=R-C.

Logo:

L=31x-( \frac{1}{3}x^{3}-2 x^{2} +10x+20)

L=31x-\frac{1}{3}x^{3}+2x^{2} - 10x -20)

L=-\frac{1}{3}x^{3}+2x^{2} +21x -20)

Agora é preciso calcular a derivada da função lucro, com base em x, de modo que teremos:

L1(x)=- x^{2} +4x+21 e L2(x)=-2x+4

Para analisar os pontos críticos dessa função L, basta igualá-la a zero.

Desse modo, - x^{2} +4x+21=0

Utilizando a equação de Báskara:

x=-b±√Δ , com Δ=b²-4*a*c   
         2a 

Teremos, então, as raízes x=-3 e x=7, sendo estes os pontos críticos da função L.

Para determinar os extremos relativos de L será preciso substituir pelas raízes encontradas.

Desse modo, 

Se x=-3. L2(-3)= -2*-3+4, que é igual a 10, valor maior que 0, sendo, portanto, esse o ponto mínimo relativo de L.

Se x=7, L2(7)=-2*7+4, que é igual a -10, sendo esse o máximo relativo de L.

Vê-se, assim, que a quantidade a ser produzida e ser posta à venda no sentido de se obter o lucro máximo é x=7.
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