Quantos números existem no intervalo 0\leq~x\leq1500 que não sejam múltiplos de 2 e nem de 3.

Só pra dar uma animada nos ânimos...

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2013-12-31T01:27:51-02:00

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Prezado irmão Dexter,

Podemos observar, de forma trivial, que, no intervalo [0;1500], temos 1501 elementos numéricos, sendo 751 pares (múltiplos de 2, inclusos o zero e o 1500) e 750 ímpares.
Além disso, temos 
x múltiplos de 3 e y múltiplos de 6.

Sendo assim, no intervalo [0;1500] temos 1501 - (751 + x - y) elementos que não são múltiplos nem de 2 nem de 3.

O exercício se resume, portanto, a encontrarmos um meio de determinar o x e o y na expressão acima.

Os múltiplos de 3 e de 6 formam PAs de razão 3 e 6 cujos primeiros termos (a_1) são 0 (zero) e os últimos termos (a_n) são 1500.


Múltiplos de 3  (valor de x):

a_1=0
a_n=1500

a_n = a_1 + (n-1).r \Rightarrow 1500 = 0 +(n-1).3\Rightarrow\\\\n - 1 = 500\Rightarrow n=501 


Múltiplos de 6  (valor de y):

a_1=0
a_n=1500

a_n = a_1 + (n-1).r \Rightarrow 1500 = 0 +(n-1).6\Rightarrow\\\\n - 1 = 250\Rightarrow n=251


Conclusão:

1501- (751 + x - y) = \\\\ = 750 - x + y =\\\\ = 750 - 501 + 251 =\\\\ = \boxed{500}
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