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2014-01-11T11:27:54-02:00

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Jairo, aqui podemos usar a regra da cadeia, mas ela deverá ser completada com a regra da divisão de duas funções.

1) Veja que a função f pode ser escrita:

f=w², onde w=\frac{3x+1}{x}

Vamos derivar f pela regra da cadeia:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dw}.\frac{dw}{dx}  \\
\\ \boxed{\frac{df}{dx}=2w.\frac{dw}{dx}}

Acontece que w=\frac{u}{v}

onde u = 3x+1
          v = x

Usando a regra da divisão:

\frac{dw}{dx}=\frac{u'v-uv'}{v^2} \\
\\
\frac{dw}{dx}=\frac{3x-3x-1}{x^2}  \\
\\
\boxed{\frac{dw}{dx}=-\frac{1}{x^2}}

Substituindo acima:
\frac{df}{dx}=2w.\frac{dw}{dx}  \\
\\
\boxed{\boxed{\frac{df}{dx}=2.\frac{3x+1}{x}.(-\frac{1}{x^2})=-\frac{6x+2}{x^3}}}