Multiplicadores de Lagrange.

Determine os Extremos:
z = 25 - x² - y² tais que x² + y² - 4y = 0

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É em R³ ?
no enunciado não explica se é em R3
Vou tentar R³, senão não há solução possível.
A função a ser maximizada não pode ser uma equação. Se a função a ser maximizada for z = f(x,y) = 25 - x² - y², então é no R² mesmo. Neste caso, o sistema é impossível.
vlw...!

Respostas

2014-01-16T00:07:14-02:00

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Olá, Fapojunior.

O Método dos Multiplicadores de Lagrange enunciado para \mathbb{R}^2 estabelece que, dada uma função objetiva f(x, y), sujeita à restrição g(x, y) = k, os pontos de máximo ou de mínimo da função f são as soluções do sistema:

\begin{cases}\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y)\\g(x,y)-k=0,\end{cases}

onde \lambda é o multiplicador de Lagrange.

No presente caso, para que possamos aplicar o teorema, façamos f(x,y)=25-x^2-y^2  e  g(x,y)=x^2+y^2-4y


Cálculo dos gradientes de f e g:

\nabla f(x,y)= \frac{\partial f}{\partial x}\vec i+\frac{\partial f}{\partial y}\vec j=-2x\vec i-2y\vec j\\\\
\nabla g(x,y)= \frac{\partial g}{\partial x}\vec i+\frac{\partial g}{\partial y}\vec j=2x\vec i+(2y-4)\vec j


Montagem do sistema:

\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y)\Rightarrow -2x\vec i-2y\vec j=\lambda[2x\vec i+(2y-4)\vec j]\Rightarrow\\\\-2x\vec i-2y\vec j=2\lambda x\vec i+\lambda (2y-4)\vec j\Rightarrow\begin{cases}-2x=2\lambda x\\-2y=\lambda (2y-4)\\x^2+y^2-4y=0\end{cases}



Solução do sistema:

\boxed{\lambda=-1}\Rightarrow -2y=-2y+4\Rightarrow 0y=4


Sistema impossível. O enunciado está correto?

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