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2014-01-23T17:37:25-02:00

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Olá, Bruno.

\int_0^{1}\int_0^{1-x}\int_0^{1-x-y} x\,dz\,dy\,dx=\int_0^{1}\int_0^{1-x}x(1-x-y)\,dy\,dx=\\\\ =\int_0^{1}\int_0^{1-x}(x-x^2-xy)\,dy\,dx=\int_0^{1}(xy|_0^{1-x}-x^2y|_0^{1-x}-x\frac{y^2}2|_0^{1-x})\,dx=\\\\ =\int_0^{1}[x(1-x)-x^2(1-x)-\frac x 2(1-x)^2]\,dx=\\\\ =\int_0^{1}[x-x^2-x^2+x^3-\frac x 2(1-2x+x^2)]\,dx=\\\\ =\int_0^{1}[x-2x^2+x^3-\frac x 2+x^2-\frac{x^3}2]\,dx=\\\\ =\int_0^{1}(\frac x 2-x^2+\frac{x^3}3)\,dx=\\\\ =\frac{x^2}4|_0^1-\frac{x^3}{3}|_0^1+\frac{x^4}{12}|_0^1=

=\frac14-\frac13+\frac{1}{12}=\frac{3-4+1}{12}=\\\\
=\boxed{0}