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2013-04-23T16:34:34-03:00

Esse problema me lembra o último teorema de Fermat onde x^a + y^b = z^c não tem solução para a,b,c inteiros maiores do que dois. Felizmente, nesse caso o expoente é 1/2 :P

 

Bem, podemos representar \sqrt[n]{a} como a^{1/n}. Desse modo, o que estamos tentando provar é que:

 

x^\frac{1}{2} + y^\frac{1}{2} = (x + y)^\frac{1}{2}

O que acha de aplicarmos logaritmo na base dez em ambos os lados?

 

logx^\frac{1}{2} + logy^\frac{1}{2} = log(x + y)^\frac{1}{2}

Pela propriedade do logaritmo, o expoente passa para trás do log, multiplicando:

\frac{1}{2}*log x + \frac{1}{2}*log y = \frac{1}{2}*log (x + y)

Pela propriedade da soma/produto:

\frac{1}{2}*log xy = \frac{1}{2}*log (x + y)

Por outra propriedade do logaritmo, log x = log y implica em x = y se estiverem nas mesmas bases. Portanto:

 xy = (x + y)

xy - y = x

y(x - 1) = x

y = \frac{x}{x-1}

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