(UNICAMP-2014) - Dizemos que uma sequência de números reais não nulos (a1,a2,a3,a4...) é uma progressãoharmônica se a sequência dos inversos (1/a1,1/a2,1/a3,1/a4...) é uma progressão aritmética (PA).

a) Dada a progressão harmônica (2/5 , 4/9, 1/2 ...) , encontre o seu sexto termo.

b) b) Sejam a,b e c termos consecutivos de uma progressão harmônica. Verifique que b = 2ac / (a+c)

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Respostas

A melhor resposta!
2014-01-29T18:37:41-02:00

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A)

Se essa progressão é harmônica, os inversos dos seus termos formam uma P.A

P.A([2/5]^{-1},[4/9]^{-1},[1/2]^{-1},...)
P.A([5/2], [9/4],2,...)

a_{1}=5/2
a_{2}=9/4

r=a_{2}-a_{1}=(9/4)-(5/2)=(9/4)-(10/4)=(9-10)/4=-1/4

a_{6}=a_{1}+5r
a_{6}=(5/2)+5*(-1/4)
a_{6}=(10/4)-(5/4)
a_{6}=(10-5)/4
a_{6}=5/4

Esse é o sexto termo da P.A, ele quer o sexto termo da progressão harmônica, que é o inverso desse termo

(a_{6})^{-1}=(5/4)^{-1}
\boxed{\boxed{(a_{6})^{-1}=4/5}}

b)

Se a, b e c são termos consecutivos de uma progressão harmônica, seus inversos formam uma progressão aritmética

P.A([1/a],[1/b],[1/c])

r = a_{2}-a_{1}=(1/b)-(1/a)
r=a_{3}-a_{2}=(1/c)-(1/b)

r=r \\ (1/b)-(1/a)=(1/c)-(1/b)
(1/b)+(1/b)=(1/c)+(1/a)
2/b=(a+c)/ac

Temos que isolar b. Multiplicando em cruz:

2*ac = b*(a + c)
\boxed{\boxed{2ac / (a + c) = b}}
6 5 6