Respostas

2014-02-03T00:26:43-02:00
Olá Marcos!

Da equação original proposta:

-\sqrt{3}\cdot\left(1-2\cdot\sin(2x)\right)+\cos(x)-2\cdot\sin(x)\cdot\cos(x)=0

Podemos, por identidade trigonométrica, facilmente obter:

\left(52-16\sqrt{3}\right)\cdot\left(\cos^2{(x)}-\cos^4{(x)}\right)=\left(\sqrt{3}-\cos(x)\right)^2

Substituindo \cos(x)=y, obtemos:

\left(16\sqrt{3}-52\right)y^4+\left(51-16\sqrt{3}\right)y^2 +\left(2\sqrt{3}\right)y -3=0

que é um equação quártica incompleta, podendo ser resolvida de modo trivial pelo método de Ferrari. Depois faz-se a substituição retrocedida e como solução vem o seguinte conjunto:

S=\left\lbrace0.1533144547;1.261750283;2.170852840;2.385804552\right\rbrace

Assim, todos os zeros da equação inicial podem ser expresso da seguinte forma:

\left\lbrace\begin{array}{c}-2.385804552+2k\pi&-2.170852840+2k\pi&0.1533144547+2k\pi&1.261750283+2k\pi\end{array}

Os cálculo são demasiadamente longos, mas acredito que já tens aí uma ideia das linhas gerais de como resolver o problema, e, é claro, a solução final.

Abraço,

Douglas Joziel.
Tomei a liberdade de escreve em notação decimal, pois o números finais envolvem raízes cúbicas e quadradas, além de frações.
Digo, escrever.