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2014-02-06T02:17:19-02:00

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Olá, Patrícia.

Isto é um Binômio de Newton.

(x^2+\frac1x)^6=\sum\limits_{k=0}^6 \binom{6}{k}(x^2)^{6-k}(\frac1x)^{k}=\sum\limits_{k=0}^6 \binom{6}{k}x^{12-2k}x^{-k}=\\\\=\sum\limits_{k=0}^6 \binom{6}{k}x^{12-2k-k}=\sum\limits_{k=0}^6 \binom{6}{k}x^{12-3k}

Para que o termo seja independente de x, devemos ter o expoente do termo geral igual a zero, ou seja:

12-3k=0\Rightarrow k=4

O coeficiente do Binômio de Newton para k=4 é dado por:

\binom64=\frac{6!}{4!(6-4)!}=\frac{6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot2!}=\boxed{15}