um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol, disputado apenas por 8 paises que ja foram campeoes mundiais: os 3 sul-americanos (uruguai, brasil e argentina) e os cinco europeus (ita.ale.ing.fra.esp). as oito seleções seriam divididas em dois grupos de 4, sendo os jogos do grupo A no Rio e o do grupo B em Sao Paulo. Considerando os integrantes de cada grupo e as cidades onde serao realizados os jogos, o numro de maneiras diferentes de dividir as oito seleções do mundo de modo que as tres sul-americanas nao fiquem no mesmo grupo?

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Respostas

2014-02-10T01:27:03-02:00
Em geral, problemas de formação de grupos está associado a resoluções por Combinações. Neste caso, ao formarmos um grupo, em consequência, os demais países formarão o outro grupo, assim precisamos nos preocupar com a contagem de apenas um grupo (de uma das cidades).

* Vamos contar quantos grupos terão apenas uma seleção sul-americana. Como temos três seleções sul-americanas, podemos ter 3 tipos de grupos em que os outros três países do grupo será dado pela combinação das cinco seleções europeias.

3*C_{5,3} =3* \frac{5!}{2!3!} =3* \frac{5.4.3!}{2!3!} =3* \frac{5.4}{2} =3*10=30

* Vamos contar quantos grupos terão duas seleções sul-americanas. O grupo será formado pela combinação de duas seleções sul-americanas e para cada uma destas teremos um grupo (combinação) de duas seleções das cinco europeias.

C_{3,2} * C_{5,2} = \frac{3!}{2!1!} * \frac{5!}{2!3!} = \frac{3*2!}{2!} * \frac{5*4*3!}{2*3!} =3*10=30

Como pode ser de uma forma ou de outra forma, somamos as possibilidades: 30+30=60 formas diferentes de organizar as seleções.
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