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2014-02-11T00:10:07-02:00

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Da informação da inclinação da reta a 45° temos que o coeficiente angular m esta reta é √2/2.

A fórmula para calcular o coeficiente angular é:

m=\frac{y_b-y_A}{x_B-x_A}

Utilizando as coordenadas de A e B fornecidas:

m=\frac{(a-1)-(a+2)}{1-a}=\frac{\sqrt2}{2}\\
\\
\frac{a-1-a-2}{1-a}=\frac{\sqrt2}{2}\\ \\
\frac{-3}{1-a}=\frac{\sqrt2}{2}\\
\\
\sqrt2(1-a)=-6\\
\\
\sqrt2-a\sqrt2=-6\\
\\
a\sqrt2=\sqrt2+6\\
\\
a=\frac{\sqrt2+6}{\sqrt2}\\ \\ \boxed{a=1+3\sqrt2}

Agora vamos escrever os pontos A e B:

A(1+3\sqrt2,3+3\sqrt2)\\
\\
B(1,3\sqrt2)

Aplicando-se a fórmula da distância de dois pontos:

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\
\\
AB=\sqrt{(1-1+3\sqrt2)^2+(3\sqrt2-3-2\sqrt2)^2}\\
\\
AB=\sqrt{(3\sqrt2)^2+(-3)^2}\\
\\
AB=\sqrt{18+9}\\
\\
\boxed{AB=\sqrt{27}}