Explique porque cada uma das operações elementares com linhas não afeta o conjunto das soluções de um sistema linear.

Mostre que se as equações lineares x1+kx2=c e x1+lx2=d tem o mesmo conjunto de soluções, então as duas equações são idênticas (isto é, k = l e c=d).

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Respostas

  • Usuário do Brainly
2013-01-07T04:50:44-02:00

1) Consideremos o sistema de equações:

\begin{cases} \text{x}+\text{y}=\text{c} \\ \text{x}-\text{y}=\text{d} \end{cases}

Somando as duas equações, tém-se:

(\text{x}+\text{x})+(\text{y}-\text{y})=(\text{c}+\text{d})

2\text{x}=\text{c}+\text{d}

\text{x}=\dfrac{\text{c}+\text{d}}{2}

Observemos que:

Se \text{c}, \text{d}\in\mathbb{R} o sistema admite solução real.

Donde, concluímos que, as operações com linhas não afeta o conjunto das soluções de um sistema linear.


2)Se as equações lineares têm o mesmo conjunto de soluções, então \text{x}_1=\text{x}_2.

Façamos \text{x}_1=\text{x}_2=1.

Desta maneira, temos:

\begin{cases} 1 + \text{k} = \text{c} \\ 1 + \text{l} = \text{d} \end{cases}

Multiplicando a 1^{\circ} por (-1), obtemos:

\begin{cases} -1 - \text{k} = -\text{c} \\ 1 + \text{l} = \text{d} \end{cases}

Somando as equações, temos:

(1-1)+(\text{l}-\text{k})=(\text{d}-\text{c})

\text{l}-\text{k}=\text{d}-\text{c}

\text{l}-\text{d}=\text{k}-\text{c}

Como as duas equações têm o mesmo conjunto solução, podemos afirmar que:

\text{k}=\text{l}~\wedge~\text{c}=\text{d}