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2014-02-13T23:17:02-02:00

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Olá, MarCosta.

Como n possui exatamente três divisores, podemos concluir que n é um quadrado de um número primo:

n=p\²,\text{ onde }p\text{ \'e primo}

Tendo n esta forma, ele possui apenas três divisores: 1,p e p\².

Assim:

n^3=(p\²)^3=p^6

Observe agora o seguinte teorema:

"Se a decomposição em fatores primos de um número natural n qualquer é n=p^{k_1}\cdot p^{k_2}\cdot...\cdot p^{k_n}, então o número de divisores de n é dado pelo seguinte produto: (k_1+1)(k_2+1)...(k_n+1)."

Observe que n=p\² satisfaz o teorema acima, pois sabemos que n possui 3 = 2 + 1 divisores.

Sendo X o conjunto dos divisores de n^3=p^6,p\text{ primo}, então o número de elementos de X é dado por:

6+1=7\text{ elementos}

Utilizaremos agora outro teorema:

"Seja k o número de elementos de um conjunto A qualquer. O número de elementos do conjunto das partes de A é igual a 2^k."

Assim, o número de elementos do conjunto das partes de X é igual a:

\boxed{2^{7}=128\text{ elementos}}
3 4 3