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2014-02-16T23:59:35-03:00

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Olá, Thaisa.

Mediatriz dos pontos A e B é o lugar geométrico de todos os pontos equidistantes dos pontos A e B, ou seja, é uma reta que satisfaz duas condições:

1) passa pelo ponto médio entre A e B;

2) é perpendicular ao segmento AB.

Como queremos encontrar uma reta perpendicular ao segmento AB que passe pelo ponto médio entre A e B, devemos encontrar, primeiramente, o coeficiente angular da equação da reta que contém AB.

O coeficiente angular da reta que contém AB é dado por:

m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} =\frac{-12-4}{5+7}=\frac{-16}{12}=-\frac43

Calculamos agora o coeficiente angular da reta r perpendicular a AB a partir da seguinte relação:

 m_r\cdot m_{AB}=-1\Rightarrow m_r\cdot(-\frac43)=-1\Rightarrow m_r=\frac34

A equação da reta r, perpendicular a AB, é dada, até o momento, por:

y=m_rx+p=\frac34x+p

Para determinar o valor do coeficiente linear p acima, precisamos de um ponto conhecido por onde passa a reta r. Este ponto é o ponto médio entre A e B, que chamaremos de M:

M=(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})=(\frac{-7+5}{2},\frac{4-12}{2})=(-1,-4)

Substituindo na equação da reta r, temos:

y_M=\frac34x_M+p\Rightarrow -4=\frac34\cdot(-1)+p\Rightarrow p=-4+\frac34=\frac{-16+3}4=-\frac{13}4

A equação da reta r, que é a mediatriz dos pontos A e B, é, portanto:

\boxed{y=\frac34x-\frac{13}4}